Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2002/2003

AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato - Soluzioni 18 novembre 2003

1. Si consideri il seguente sottoinsieme del corpo dei quaternioni reali H(ℝ):

H(ℤ) = {a1 + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ ℤ}.

1. Verificare che H(ℤ) è un sottoanello di H(ℝ) unitario, non commutativo e privo di divisori dello zero.

2. Determinare gli elementi invertibili di H(ℤ).

3. Se q = 31 − 2j e q′ = −11 + 1i − 2k, trovare q + q′, qq′ e q^{−1}.

1. H(ℤ) è un sottoanello unitario di H(ℝ) dato che ∀q, q′ ∈ H(ℤ) q − q′ ∈ H(ℤ) , qq′ ∈ H(ℤ) e l’unità di H(ℝ), 1, appartiene a H(ℤ). H(ℤ) non è commutativo dato che ij = k mentre ji = −k Infine H(ℤ) è privo di divisori dello zero visto che è un sottoanello di un corpo (si ricordi che gli elementi invertibili non possono essere zerodivisori).

2. Sia q = a1 + bi + cj + dk ∈ H(ℤ), q ≠ 0. Siccome H(ℤ) è un sottoanello unitario di H(ℝ), e l’inverso di un elemento è unico, si ha che: q è invertibile in H(ℤ) ⇔ q^{−1} (inverso in H(ℝ)) ∈ H(ℤ) q^{−1} = \overline{q}/N(q) con N(q) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}. Siccome q ≠ 0 possiamo supporre a ≠ 0 (negli altri casi si procede analog.). q invertibile in H(ℤ) ⇒ N(q)|a ⇒ a = ±1, b = 0, c = 0, d = 0. Inoltre se a = ±1, b = 0, c = 0, d = 0 chiaramente N(q) divide a, b, c, d. Concludendo: gli elementi invertibili di H(ℤ) sono ±1, ±i, ±j, ±k.

3. q + q′ = 21 + 1i − 2j − 2k qq′ = −31 + 7i + 2j − 4k q^{−1} = \frac{3}{13}1 + \frac{2}{13}j.

2. Sia A un anello ed a ∈ A; a si dice - idempotente se a^{2} = a;

- nilpotente se esiste n > 0 tale che a^{n} = 0.

1. Provare che se a è nilpotente e a ≠ 0, allora a è zero-divisore.

2. Provare che se A è unitario ed a è idempotente con a ≠ 0 e a ≠ 1, allora a è zero-divisore.

3. Dare l’esempio di un elemento ≠ 0 nilpotente e non idempotente.

4. Dare l’esempio di un elemento ≠ 0 e ≠ 1 idempotente e non nilpotente.

5. Trovare gli elementi nilpotenti e gli elementi idempotenti in un dominio d’integrità unitario.

6. Provare che se A è un anello commutativo unitario, a un elemento invertibile e b nilpotente, allora a + b è invertibile.

7. Trovare gli elementi idempotenti e gli elementi nilpotenti di ℤ_{10}, ℤ_{12} e di ℤ_{10} × ℤ_{12}.

1. Sia n il minimo intero positivo per cui a^{n} = 0. Tale n esiste per il PBO ed è > 1 poiché a ≠ 0. Si ha: a(a^{n−1}) = a^{n} = 0 con a, a^{n−1} ≠ 0, perciò a è zero-divisore.

2. Siccome a è idempotente a^{2}−a = 0 ⇔ a(a−1) = 0. Poichè a ≠ 0, a−1 ≠ 0 segue che a è uno zerodivisore.

3. Nell’anello ℤ_{4} [2]_{4} è diverso da 0, nilpotente e non idempotente. Nell’anello

M_{2}(ℝ) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) è un elemento non nullo, nilpotente e non idempotente.

4. Nell’anello ℤ_{6} [3]_{6} è diverso da 0, 1, idempotente e non nilpotente. Nel-

l’anello M_{2}(ℝ) (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) è un elemento diverso da 0, 1, idempotente e non

nilpotente.

5. In ogni anello unitario 0 è nilpotente e 0, 1 sono idempotenti. Se l’anello unitario è anche un dominio di integrità da 1. e 2. segue che non vi sono altri elementi nilpotenti/idempotenti.

6. Essendo b nilpotente ∃n ∈ N, n > 0 t.c. b^{n} = 0. Allora osserviamo che a^{n} = a^{n} − b^{n} = (a + b)(a^{n−1} + a^{n−2}(−b) + a^{n−3}(−b)^{2} + ... + a(−b)^{n−2} + (−b)^{n−1}). Quindi l’inverso di a + b è a^{−n}(a^{n−1} + a^{n−2}(−b) + a^{n−3}(−b)^{2} + ... + a(−b)^{n−2} + (−b)^{n−1}).

7. Gli elementi idempotenti di ℤ_{10} sono [0]_{10}, [1]_{10}, [5]_{10}, [6]_{10}; l’unico elemento nilpotente è [0]_{10}, giacché 10 è privo di fattori quadratici. Gli elementi idempotenti di ℤ_{12} sono [0]_{12}, [1]_{12}, [4]_{12}, [9]_{12} e quelli nilpotenti sono [0]_{12}, [6]_{12}. In generale, dati A e B anelli ∀a ∈ A, ∀b ∈ B si ha: (a, b) è idempotente in A × B ⇔ (a, b)^{2} = (a, b) ⇔ (a^{2}, b^{2}) = (a, b) ⇔ a^{2} = a e b^{2} = b ⇔ a è idempotente in A e b è idempotente in B. In generale, dati A e B anelli ∀a ∈ A, ∀b ∈ B si ha: (a, b) è nilpotente in A × B ⇒ ∃n > 0 t.c. (a, b)^{n} = (0, 0) ⇒ a^{n} = 0 e b^{n} = 0 ⇒ a è nilpotente in A, b è nilpotente in B. Vale anche il viceversa: se a è nilpotente in A e b è nilpotente in B allora ∃n, m > 0 t.c. a^{n} = 0 = b^{m}. Ma quindi (a, b) è nilpotente in A × B - ad esempio (a, b)^{n+m} = (0, 0). Concludendo: gli elementi idempotenti/nilpotenti di ℤ_{10} × ℤ_{12} sono tutte le possibili coppie (a, b) t.c. a è idempotente/nilpotente in ℤ_{10} e b è idempotente/nilpotente in ℤ_{12}.

3. Un anello R si dice Booleano se a^{2} = a per ogni a ∈ R, i.e. se ogni suo elemento è idempotente. Provare che:

1. per ogni a ∈ R si ha che a + a = 0;

2. R è commutativo.

3. Verificare che sono anelli Booleani:

(a) ℤ_{2}, ℤ_{2} × ℤ_{2};

(b) per ogni insieme S, (P(S), +, ·), dove + è la differenza simmetrica, X + Y = XΔY = (X ∪ Y) − (X ∩ Y) per X, Y sottoinsiemi di S, e · è la intersezione.

(c) per ogni insieme S, P_{fin}(S) = {X ⊆ S | X finito} rispetto alla differenza simmetrica e alla intersezione.

4. Verificare che se S è infinito, l’anello P_{fin}(S) non è unitario.

5. Dare le tabelle per + e · per P(S) con S = {a, b}.

1. (a + a) = (a + a)^{2} = a^{2} + a^{2} + a^{2} + a^{2} = (a + a) + (a + a) ⇒ a + a = 0;

2. ∀a, b ∈ R, (a + b) = (a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2} = (a + b) + ab + ba ⇒ ab = −ba = ba (per 1.).

3. (a) ℤ_{2} è booleano dato che [0]_{2}, [1]_{2} sono idempotenti. ℤ_{2}×ℤ_{2} è booleano perché prodotto di due anelli booleani (cfr. ex. 2.7)

(b) per ogni X ∈ P(S), X^{2} = X · X = X ∩ X = X, .

(c) per ogni X ∈ P_{fin}(S), X^{2} = X · X = X ∩ X = X.

4. Supponiamo per assurdo che P_{fin}(S) sia unitario. Allora ∃X ∈ P_{fin}(S) t.c. ∀Y ∈ P_{fin}(S), X · Y = Y · X = Y. Siccome S ha cardinalità infinita mentre X è finito, possiamo scegliere z ∈ S, z ∉ X. Naturalmente anche Z = X ∪ {z} sta in P_{fin}(S), ma Z · X = X ≠ Z.

5. Se S = {a, b} allora P(S) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

\begin{matrix}+ & ∅ & \{a\} & \{b\} & \{a, b\} \\ ∅ & ∅ & \{a\} & \{b\} & \{a, b\} \\ \{a\} & \{a\} & ∅ & \{a, b\} & \{b\} \\ \{b\} & \{b\} & \{a, b\} & ∅ & \{a\} \\ \{a, b\} & \{a, b\} & \{b\} & \{a\} & ∅ \end{matrix}

\begin{matrix}· & ∅ & \{a\} & \{b\} & \{a, b\} \\ ∅ & ∅ & ∅ & ∅ & ∅ \\ \{a\} & ∅ & \{a\} & ∅ & \{a\} \\ \{b\} & ∅ & ∅ & \{b\} & \{b\} \\ \{a, b\} & ∅ & \{a\} & \{b\} & \{a, b\} \end{matrix}

Si noti che (P(S), +, ·) è isomorfo a ℤ_{2} × ℤ_{2}.

4. Sia A un anello commutativo ed N (A) l’insieme dei suoi elementi nilpotenti.

1. Provare che N (A) è un ideale di A detto nilradicale o radicale primo dell’anello A.

2. Trovare N (ℤ) e N (ℤ_{32}).

1. cfr. ex. 5.2

2. ℤ è un dominio di integrità. Da ex. 2.5 segue che N (ℤ) = (0). Invece N (ℤ_{32}) = ([2]_{32}).

5. Siano A un anello commutativo ed I un suo ideale; provare che l’insieme \sqrt{I} di tutti gli a ∈ A tali che a^{n} ∈ I per qualche intero positivo n è un ideale di A, detto radicale di I.

1. Dare un esempio di un ideale non nullo I ≠ A tale che \sqrt{I} ≠ I ed un esempio di ideale non nullo J ≠ A tale che \sqrt{J} = J.

2. Quale relazione si può stabilire tra la nozione di nilradicale di un anello e quella di radicale di un ideale?

Siano i, j ∈ \sqrt{I}. Allora ∃n, m > 0 t.c. i^{n}, j^{m} ∈ I. Consideriamo (i +

j)^{n+m−1} = ∑_{k=0}^{n+m−1} α_{k}i^{k}j^{n+m−1−k} con α_{k} = (\begin{matrix}n + m − 1 \\ k \end{matrix})

Visto che se k < n allora n + m − 1 − k ≥ m si ha che (i + j)^{n+m−1} ∈ I ⇒ (i + j) ∈ \sqrt{I}. Inoltre ∀a ∈ A ai ∈ \sqrt{I} (infatti (ai)^{n} = a^{n}i^{n} ∈ I). Perciò \sqrt{I} è un ideale.

1. Sia A = ℤ. Sia I = (4), J = (6). Allora \sqrt{I} = (2) ≠ I e \sqrt{J} = (6) = J.

2. Il nilradicale di un anello altro non è che il radicale dell’ideale nullo.

6. Nell’anello M_{2}(ℤ_{m}) con m > 1, si consideri il seguente sottoinsieme

A_{m} = \{( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix} ) : a, b ∈ ℤ_{m}\} .

1. Provare che A_{m} è un sottoanello non commutativo di M_{2}(ℤ_{m}) ed è privo di elemento neutro moltiplicativo.

2. Provare che A_{m} è un ideale sinistro e non è un ideale destro di M_{2}(ℤ_{m}).

3. Si consideri l’applicazione φ : A_{m} ⟶ ℤ_{m} definita da φ (( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix} )) = b.

(a) Provare che φ è un omomorfismo.

(b) Determinare Im(φ) e Ker(φ).

4. Sia I_{m} = \{( \begin{matrix}0 & 2c \\ 0 & 0 \end{matrix} ) : c ∈ ℤ_{m}\}. Provare che I_{m} è un ideale di A_{m}.

5. ** Provare che l’anello A_{m}/I_{m} è unitario se e solo se m è dispari.

1. ∀a, b, c, d ∈ ℤ_{m} (\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix}) − (\begin{matrix}0 & c \\ 0 & d \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & a − c \\ 0 & b − d \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ_{m}).

∀a, b, c, d ∈ ℤ_{m} (\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & c \\ 0 & d \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & ad \\ 0 & bd \end{matrix}) ∈ M_{2}(ℤ_{m}).

Pertanto A_{m} è un sottoanello di M_{2}(ℤ_{m}) e non è commutativo: ad

esempio (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ≠ (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}).

Inoltre A_{m} non è unitario: infatti se Q = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}), ∀P ∈ A_{m} P Q =

(\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}).

2. Per provare che A_{m} è un ideale sinistro di M_{2}(ℤ_{m}), avendo già visto (cfr. ex. 5.1) che ne è un sottogruppo, basta mostrare che ∀M ∈ M_{2}(ℤ_{m}),

e ∀P ∈ A_{m} MP ∈ A_{m}. Siano M = (\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}) , P = (\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix}) generiche

matrici risp. in M_{2}(ℤ_{m}) e A_{m} (x, y, z, w, a, b ∈ ℤ_{m}). Allora MP =

(\begin{matrix}0 & ax + by \\ 0 & az + bw \end{matrix}) ∈ A_{m}.

A_{m} non è un ideale destro: ad esempio (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∉ A_{m}.

3. Si consideri l’applicazione φ : A_{m} ⟶ ℤ_{m} definita da φ (( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix} )) = b.

(a) Per far vedere che ϕ è un omomorfismo bisogna verificare che ∀P, Q ∈ A_{m} ϕ(P + Q) = ϕ(P) + ϕ(Q) e ϕ(P Q) = ϕ(P)ϕ(Q). Siano P =

(\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix}), e Q = (\begin{matrix}0 & c \\ 0 & d \end{matrix}) generiche matrici in A_{m} (a, b, c, d ∈ ℤ_{m}).

Allora ϕ(P + Q) = b + d = ϕ(P) + ϕ(Q) e ϕ(P Q) = bd = ϕ(P)ϕ(Q).

(b) Im(ϕ) = ℤ_{m}, mentre ker(ϕ) = \{(\begin{matrix}0 & a \\ 0 & 0 \end{matrix}) , t.c. a ∈ Z_{m}\}

4. I_{m} è sia un ideale destro che un ideale sinistro di A_{m}. Quindi è un ideale di A_{m}.

5. Sia m dispari.

Allora I_{m} = ker(ϕ), (ϕ definito al punto 3.): infatti dato a ∈ ℤ visto che m è dispari, la congruenza 2c ≡ a mod m è sempre risolubile. Quindi, per il teorema fond. di omom. tra anelli, A_{m}/I_{m} ≃ ℤ_{m}. Siccome ℤ_{m} è un anello unitario, anche A_{m}/I_{m} lo è.

Supponiamo A_{m}/I_{m} unitario.

Allora ∃P ∈ A_{m} t.c. P rappresenta l’unità in A_{m}/I_{m}. Sia P = (\begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix}), e

Q = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}). Si deve avere QP − P Q ∈ I_{m} e QP − Q ∈ I_{m}. QP − P Q =

(\begin{matrix}0 & b \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ I_{m} ⇔ ∃c ∈ ℤ_{m} t.c. 2c = b; QP − Q = (\begin{matrix}0 & b − 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ∈ I_{m} ⇔

∃c′ ∈ ℤ_{m} t.c. 2c′ = b − 1 in Z_{m}. Quindi ∃c, c′ ∈ ℤ_{m} t.c. 1 = 2(c − c′) in Z_{m} ⇒ MCD(2, m) = 1.