Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 17 Dicembre 2004

1 Campi

1. Dato F campo e K ampliamento di F, dimostrare che l’unità di K e la stessa di F.

2. Sia K un campo di caratteristica p, trovare il sottocampo fondamentale di K.

3. Sia F un campo, e sia g ∈ F [x] di grado n, poniamo I = (g) l’ideale generato da g. Dimostrare che F [x] /I è uno spazio vettoriale di dimensione n su F.

2 Numeri algebrici e trascendenti

1. *^{1} Dimostrare che π è trascendente su ℚ

2. * Dimostrare che e è trascendente su ℚ.

3. Dimostrare che e^{\frac{m}{n}} è trascendente su ℚ per ogni m, n ∈ ℤ.

4. Dimostrare che sin (1^{∘}) è un numero algebrico, dove 1^{∘} = \frac{2π}{360}.

5. In generale dimostrare che sin (m^{∘}) è un numero algebrico per ogni intero m.

6. Consideriamo ℚ ⊂ ℝ

(a) Dimostrare che \sqrt{2} e \sqrt{3} sono algebrici su ℚ.

(b) Trovare un polinomio di grado 4 su ℚ annulato da \sqrt{2} + \sqrt{3}.

(c) Qual’è il grado su ℚ di \sqrt{2} + \sqrt{3} ? Dimostrarlo.

(d) Qual’è il grado di \sqrt{2}\sqrt{3} su ℚ.

3 Campi di spezzamento

1. Sia F = ℚ. Determinare il grado dei campi di spezzamento dei seguenti polinomi su ℚ.

(a) x^{4} + 1, (b) x^{4} − 2,

1L’ * indica gli esercizi difficili

(c) x^{6} + 1,

(d) x^{5} − 1,

(e) x^{6} + x^{3} + 1.

2. Sia p un numero primo, dimostrare che il campo di spezzamento di x^{p} − 1 su ℚ, ha grado p − 1.

3. Sia E un ampliamento di F, f ∈ F [x] e ϕ un automorfismo di E che fissa ogni elemento di di F, cioè ∀a ∈ F, ϕ(a) = a, dimostrare che ϕ deve portare una radice di f appartenente ad E in una radice di f in E.

4. Dimostrare che ℚ (\sqrt[3]{2}) non ha automorfismi tranne l’identità.

5. Utilizando il risultato dell’esercizio 3, dimostrare che se α ∈ ℂ è una radice di p ∈ ℝ [x], allora \overline{α} è una radice di p

4 Campi finiti

1. Sia F un campo con un numero finito q di elementi

(a) Dimostrare che esiste un numero primo p tale che

pa = \underbrace{a + ⋯ + a}_{p−volte} = 0

per ogni a ∈ F.

(b) Dimostrare che q = p^{n} per un certo intero n.

(c) Se a ∈ F, dimostarere che a^{q} = a.

(d) Se b ∈ K è algebrico su F, dimostrare che b^{q^{m}} = b per qualche intero m > 0.

2. Sia F un campo con p^{n} elementi, provare che esiste un polinomio q in ℤ_{p} [x] tale che F ≅ ℤ_{p} [x] / (q).

3. Costruire un campo, se possibile, con le seguenti cardinalità: 3, 6, 27, 32, 144, 256, 3125.