Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 12 Dicembre 2004

1 Anelli e Ideali

1. Dati due anelli R e R′, introdurre una struttura di anello nel prodotto cartesiano R × R′.

2. Sia R un anello tale che a^{2} = a ∀a ∈ R; dimostrare che R è commutativo.

3. Siano I e J due ideali di un anello R tali che I ∩ J = {0}; dimostrere che, ∀h ∈ I e ∀k ∈ J, risulta hk = 0.

4. Si studi la relazione di inclusione nell’insieme degli ideali degli anelli ℤ_{101} e ℤ_{90}; dire quali fra gli ideali sono massimali e quali minimali. Determinare i quozienti relativi agli ideali massimali e minimali.

2 Anelli e Anelli di polinomi

1. Dimostrare che se R un anello commutativo con identità, anche R [x] lo è

2. Dimostrare che R [x_{1}, ⋯, x_{n}] = R [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}] con (i_{1}, ⋯, i_{n}) una permutazione di (1, ⋯, n)

3. Sia R un anello commutativo con identità, dimostrare che f(x) = a_{0} + ⋯ + a_{n}x^{n} ∈ R [x] è invertibile in R [x] se e solo se a_{0} è invertibile in R e a_{i} per i ≠ 0 sono elementi nilpotenti di R.

4. Dimostrare che l’ideale generato da x in ℤ [x] non è massimale; è primo ?

5. Dimostrare che l’ideale generato da x in ℝ [x] è massimale.

6. Trovare una condizione necessaria e sufficente affinché l’ideale generato da x sia massimale in R [x].

7. Trovare una condizione necessaria e sufficente affinché l’ideale generato da x sia primo in R [x].

8. Sia F un campo, dimostrare che F [x] è euclideo.

3 Anelli Noetheriani

1. Sia R un anello commutativo con identità, dimostrare che sono equivalenti le seguenti affermazioni:

(a) Ogni ideale di R è finitamente generato

(b) Siano {I_{n}}_{n∈ℕ}, I_{i} ideali in R, tali che:

I_{0} ⊂ ⋯ ⊂ I_{n} ⊂ ⋯

allora esiste n_{0} ∈ ℕ tale che

I_{n} = I_{n_{0}}∀n ≥ n_{0}

Un anello R che verifica una di queste condizioni equivalenti si dice noetheriano.

2. Verificare che i seguenti anelli sono noetheriani:

(a) R = ℤ

(b) R = ℚ

(c) R = ℝ

(d) R = ℂ

(e) R = ℂ [x]

4 Anelli di polinomi su UFD

1. Sia R un dominio a fattorizzazione unica (UFD). Dimostrare che:

(a) ∀a, b ∈ R i. ∃m = MCD(a, b) ii. Se m = MCD(a, b) = 1 e a|bc ⇒ a|c

(b) Sia a ∈ R irriducibile. Se a|bc → a|b o a|c

2. Dato f ∈ R [x], il divisore di f è

d(f) = MCD (a_{0}, ⋯, a_{n})

dove f(x) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}, un polinomio si dice primitivo se d(f) = 1). Dimostrare che:

(a) d(f) è unico a meno di un fattore invertibile in R.

(b) ∀f ∈ R [x], posto a = d(f) esiste f_{1} ∈ R [x] primitivo tale che

f(x) = af_{1}(x)

(c) la decomposizione precedente è unica a meno di elementi invertibili in R.

Dedurre il seguente

Lemma 1. Sia R un UFD allora

(a) Dati f, g ∈ R [x] allora d(fg) = d(f)d(g) a meno di elementi invertibili

(b) il prodotto di due polinomi primitivi di R [x] è ancora un polinomio primitivo.

(c) Dati f_{1}, ⋯, f_{n} ∈ R [x] allora d(f_{1} ⋯ f_{n}) = d(f_{1}) ⋯ d(f_{n}) a meno di elementi invertibili

3. Lemma di Gauss poiché R è un UFD, R è un dominio di integrita, dunque ammette un campo dei quozienti F. Possiamo considerare R [x] come sottoanello di F [x]. Dimostrare che, dato un polinomio f(x) ∈ F [x], si ha

f(x) = \frac{f_{0}(x)}{a}

con f_{0}(x) ∈ R [x] e a ∈ R. Vogliamo ora copire la relazione fra la riducibilità in R [x] e la riducibilità in F [x].

Lemma 2. Sia f(x) ∈ R [x] primitivo, allora f(x) è irriducibile in R [x] ⇔ f(x) è irriducibile in F [x].

Lemma 3. Se R è un UFD e se p(x) è un polinomio primitivo in R [x], allora p(x) si può fattorizzare in modo unico come prodotto di elementi irriducibili di R [x].

4. Dimostrare

Teorema 4. Se R è un UFD, anche R [x] lo è.

Corollario 5.

(a) Se R è un UFD, anche R [x_{1}, ⋯, x_{n}] lo è.

(b) Se F è un campo, allora F [x_{1}, ⋯, x_{n}] è un UFD.

5 Omomorfismi di Anelli

1. Sia I l’ideale generato da f(x) = x − a in ℝ [x], descrivere ℝ [x] /I e l’applicazione π da ℝ [x] in ℝ [x] /I.

2. omomorfismo di valutazione Sia R un anello commutativo con identità,

consideriamo ∀r ∈ R

π_{r} : R [x] → R

definito da π_{r} (f) = f(r) ∀f ∈ R [x]. Calcolare l’immagine e il nucleo.

3. Dimostrare che un omomorfismo di un campo è o un isomorfismo o porta tutti gli elementi in zero.

4. Si determinino, a meno di isomorfismo, tutte le immagini omomorfe degli anelli ℤ_{6} e ℤ_{13}.

6 Anelli Locali

1. Un anello R commutativo con unità si dice locale se ha un solo ideale massimale. Verificare se i seguenti anelli sono locali:

(a) ℤ

(b) ℝ

(c) ℤ [x]

(d) ℝ [x]

(e) A = \{\frac{m}{n} : 3 |̸n, m, n ∈ ℤ\} ⊂ ℚ

2. Sia R un anello locale con ideale massimale M, 𝔨 = R/M si chiama campo residuo di R. Calcolare i campi residui per gli anelli locali dell’esercizio precedente.

7 Fattorizzazione

1. Dimostrare che in ℤ [\sqrt{−5}] non esiste il massimo comun divisore di 9 e 3 (2 + \sqrt{−5}).

2. Dimostrare che gli elementi ±2,±5,± (2 + \sqrt{−6}) sono irriducibili ma non primi in ℤ [\sqrt{−6}].

3. Studiare la riducibilità del polinomio x^{2} − 2 su ℤ_{11} e su ℤ_{13}.

4. Calcolare, se esiste, il MCD e il mcm delle seguenti coppie

(a) 2 e 6 + \sqrt{d}

(b) 5 e 12 + 4\sqrt{d}

(c) 3 e 2 + 5\sqrt{d}

in ℤ [\sqrt{d}], per d = −1, 3.

5. Determinare l’ideale generato dalle seguenti coppie di polinomi (a) x^{3} − x e 2x^{2} + 4x + 4.

(b) 3x − 3 e 6x^{2} + 12x + 3 in ℤ_{5} [x], ℤ [x] e ℚ [x].