Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 21 Novembre 2004

1 Definizione di Anello

1. Binomio Sia R un anello. Siano a e b ∈ R, allora:

(a) Dimostrare che (a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2}.

(b) Trovare la forma del teorema del binomio in R; trovare cioè

un’espressione per (a + b)^{n}, con n intero positivo.

2. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{n} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i < j}. Dimostrare che R è un sottoanello unitario di M_{n} (ℝ).

3. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{n} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i ≤ j}. Dimostrare che R è un sottoanello di M_{n} (ℝ). R è unitario ?

4. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{3} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i = 2 o j = 2}. Dimostrare che R è un sottoanello di M_{3} (ℝ). R è unitario ?

5. Sia R = {a = (a_{n})_{n∈ℕ} : a_{n} ∈ ℚ e a_{n} quasi tutti nulli}. Per ogni a e

b ∈ R definiamo • a + b = (a_{n} + b_{n})_{n∈N}

• a · b = (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ} Verificare se R è un anello.

2 Ideali

1. Sia R un anello, I un ideale di R e 1 ∈ I allora I = R

2. Sia R un anello commutativo e a ∈ R (a) dimostrare che aR = {ar : r ∈ R} è un ideale bilatero di R.

(b) dimostrare con un esempio che ciò può non essere vero se R non

è commutativo.

3. Dimostrare che tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ.

4. Dimostrare che nℤ è un ideale primo se e solo se n è primo o n = 0.

5. Sia I un ideale di ℤ non nullo. Dimostrare che I è primo ⇔ I è massimale.

6. Teorema Cinese dei resti Siano I_{1}, ⋯, I_{n} ideali di R, anello commutativo con identità, tali che I_{i} + I_{j} = R per ogni i ≠ j. Siano x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ R, allora esiste x ∈ R tale che x ≡ x_{i} mod I_{i}. Verificare che per R = ℤ si ottiene l’usuale teorema cinese dei resti.

7. Consideriamo

(a) ℤ_{30} e R = \{\overline{0}, \overline{6}, \overline{12}, \overline{18}, \overline{24}\} ⊂ ℤ_{30}.

(b) ℤ_{20} e R = \{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15}\} ⊂ ℤ_{20}.

Verificare, in entrambi i casi, se R è un sottoanello, ha divisori dello zero, ed è un campo. Trovare un anello ad esso isomorfo.