Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 17 ottobre 2004

1 Sottogruppi normali.

1. Lemma della farfalla Siano U e V due sottogruppi di un gruppo G, siano H e K sottogruppi normali di U e V, rispettivamente. Allora

(a) H(U ∩ K) è normale in H(U ∩ V)

(b) (H ∩ V)K è normale in (U ∩ V)K

e i gruppi quozienti sono isomorfi, i.e.

H(U ∩ V)/H(U ∩ K) ≅ (U ∩ V)K/(H ∩ V)K.

2. Sottogruppo derivato Sia G un gruppo. Consideriamo U = {xyx^{−1}y^{−1} : x, y ∈ G}, il sottogruppo generato da U si chiama sottogruppo dei commutatori, o derivato, e si denota con G′. Dimostrare che:

(a) G′ è normale in G

(b) G/G′ è commutativo

(c) Se G/N è commutativo allora N ⊃ G′

(d) Se H è un sottogruppo di G e H ⊃ G′, allora H è normale in G.

2 Omomorfismi e sottogruppi normali.

1. Sia G un gruppo abeliano finito di ordine m. Sia n primo con m. Dimostrare che ogni g ∈ G si può scrivere come g = x^{n} con x ∈ G, i.e. esiste x ∈ G tale che x^{n} = g.

2. Sia f_{n} : (ℤ, +) ↦ (ℤ, +) definita da f_{n}(x) = nx. Verificare che f_{n} è un omomorfismo, trovare il nucleo e l’immagine di f_{n}.

3. Sia f_{n} : (ℤ, +) ↦ (ℤ_{m}, +) definita da f_{n}(x) = nx mod m.

(a) Per quali n, f_{n} è un omomorfismo di gruppi.

(b) Per tali n trovare il nucleo e l’immagine di f_{n}.

3 Gruppo Simmetrico.

1. Determinare i sottogruppi normali di S_{3} e S_{4}.

2. Determinare il centro di S_{3} e S_{4}.

3. Determinare il centralizzante di:

(a) ⟨id, (12)⟩ in S_{3}

(b) ⟨id, (12)⟩ in S_{4}

(c) ⟨id, (12), (123)⟩ in S_{4}.

4. Determinare il normalizzante di:

(a) ⟨id, (12)⟩ in S_{3}

(b) ⟨id, (12)⟩ in S_{4}

(c) ⟨id, (12), (123)⟩ in S_{4}.

5. In S_{5} trovare una permutazione per ogni struttura ciclica seguente:

(a) ( - )

(b) ( - - )( - - )

(c) ( - - )

(d) ( - - )( - - - )

(e) ( - - - )

(f) ( - - - - )

(g) ( - - - - - )

6. Consideriamo una scatola quadrata piatta riempita con 16 quadrati piatti di metallo, numerati come nella figura seguente:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15

L’ultimo quadrato viene rimosso, rendendo possibile lo spostamento degli altri quadrati facendoli scivolare. Si consideri una sequenza qualsiasi di spostamenti che termini con l’angolo destro inferiore libero. Dimostrare che le permutazioni possibili per tali spostamenti sono solamente le permutazioni pari in A_{15}. Esempio:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⟶ 3 6 7 8 9 2 1 4 5 10 13 14 12 11 15

è una configurazione finale ammissibile.

4 Matrici.

1. Consideriamo l’applicazione determinante:

det : (Gl_{2}(ℂ), ∗) ↦ (ℂ^{∗}, ∗)

provare che è un omomorfismo di gruppi. Determinare il nucleo, l’immagine e scrivere la relazione di equivalenza generata. Il nucleo si chiama Sl_{2}(ℂ).

2. Consideriamo l’applicazione traccia:

tr : (M_{2}(ℂ), +) ↦ (ℂ, +)

provare che è un omomorfismo di gruppi. Determinare il nucleo, l’immagine e scrivere la relazione di equivalenza generata.