Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi APPELLO B 11 febbraio 2004

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. Siano G un gruppo di ordine 14 ed N un suo sottogruppo \underline{normale} di ordine 2.

(a) Provare che c’è in G un elemento di ordine 7.

(b) Stabilire se G è abeliano.

(c) Stabilire se G è ciclico.

2. Sia R un anello commutativo ed unitario; sia H un sottogruppo del gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di R, U(R). Sia

N = {A ∈ GL(n, R) | det(A) ∈ H} .

Provare che

(a) N è un sottogruppo normale di GL(n, R);

(b) GL(n, R)/N ≅ U(R)/H.

3. Sia C([0, 1]) l’anello delle funzioni continue reali definite sull’intervallo [0, 1].

(a) Provare che C([0, 1]) non è un dominio d’integrità.

(b) Caratterizzare gli elementi invertibili di C([0, 1]). Sia T ⊆ [0, 1]; si ponga

I(T) := {f ∈ C([0, 1]) | f(y) = 0 ∀y ∈ T } .

(a) Provare che I(T) è un ideale di C([0, 1]) .

(b) Se x ∈ [0, 1], si ponga M_{x} = I({x}).

i. Provare che M_{x} è un ideale massimale di C([0, 1]). ii. Determinare, a meno di un isomorfismo, C([0, 1])/M_{x}.

4. Sia p un numero primo. Siano

R_{1} = ℤ_{p}[X]/(X^{2} − 2) ed R_{2} = ℤ_{p}[X]/(X^{2} − 3).

Stabilire se R_{1} ≅ R_{2} per p = 2, p = 3, p = 11.