Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Esercizi 4 - Anelli Noetheriani e chiusura integrale

1. Siano M un R-modulo ed f : M ⟶ M un omomorfismo di R-moduli. Provare che:

(a) Se M è Noetheriano ed f è suriettivo, allora f è un isomorfismo.

(b) Se M è Artiniano ed f è iniettivo, allora f è un isomorfismo.

(Sugg: Per (a) considerare i sottomoduli Ker(f^{n}); per (b) considerare i moduli quoziente M/ Im(f^{n})).

2. Siano M un R-modulo ed N_{1} e N_{2} sotto-R-moduli di M. Provare che se \frac{M}{N_{1}} e \frac{M}{N_{2}} sono Noetheriani, allora anche \frac{M}{N_{1}∩N_{2}} è Noetheriano. Analogamente per Artiniano al posto di Noetheriano.

3. Sia M un R-modulo Noetheriano, provare che R/ Ann(M) è un anello Noetheriano. Stabilire se si può sostituire Artiniano a Noetheriano.

4. Sia R un anello Noetheriano ed f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} ∈ R[[X]]. Provare che f è nilpotente se e solo se ogni a_{n} è nilpotente.

5. Sia K un campo; nell’anello K[X, Y, Z] siano P_{1} = (X, Y), P_{2} = (X, Z) ed M = (X, Y, Z). Sia I = P_{1}P_{2}. Provare che I = P_{1} ∩ P_{2} ∩ M^{2} è una decomposizione primaria minimale di I; stabilire quali sono i primi isolati e quelli immersi.

6. Sia R un anello commutativo ed u un elemento invertibile di un anello S contenente R.

(a) Provare che u^{−1} è intero su R se e solo se u^{−1} ∈ R[u].

(b) Provare che R[u] ∩ R[u^{−1}] è intero su R.

(Sugg. : sia s ∈ R[u] ∩ R[u^{−1}]; allora s = r_{0} + ⋯ + r_{m}u^{m} = t_{0} + ⋯ + t_{n}u^{n} con r_{0}, ⋯, r_{m}, t_{0}, ⋯, t_{n} ∈ R. Si consideri lo Rmodulo generato da {1, u, ⋯, u^{m+n−1}}.

7. Sia D un dominio d’integrità, P un ideale primo non nullo di D finitamente generato contenuto propriamente in I. Sia x un elemto del campo dei quozienti di D tale che xI ⊆ D. Provare che x è intero su D.

8. Determinare la chiusura integrale di ℤ[2i].

9. Siano R ⊆ S anelli con S intero su R. Provare che : (a) Se x ∈ R è invertibile in S, allora x è invertibile in R.

(b) Il radicale di Jacobson di R è la contrazione in R del radicale di

Jacobson di S.

10. Sia K un campo; la K[X^{2}]-algebra K[X] è finita e pertanto l’estensione anulare K[X^{2}] ⊂ K[X] è intera. Trovare una relazione di dipendenza integrale per ogni f(X) ∈ K[X] .

11. Sia K un campo ed R l’anello delle serie formali del tipo a_{0} + a_{2}X^{2} + a_{3}X^{3} + · · ·.

(a) Provare che R non è integralmente chiuso.

(b) Determinare la chiusura integrale di R.