Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Esercizi 2 - Anelli e ideali

1. Siano R un anello unitario (1 ≠ 0) ed a un elemento di R.

a si dice nilpotente se a^{k} = 0, per qualche intero k ≥ 1;

a si dice idempotente se a^{2} = a.

(a) Provare che:

i. Se R non ha zero-divisori, allora l’unico elemento nilpotente

di R è 0 e gli unici elementi idempotenti di R sono 0 e 1. ii. Nessuno elemento invertibile di R è nilpotente. L’unico ele-

mento idempotente e invertibile di R è 1. iii. Se a è nilpotente, allora 1 − a è invertibile in R (determinare

esplicitamente il suo inverso). Se a è idempotente, allora 1−a è idempotente.

iv. Se R è commutativo, l’insieme I degli elementi nilpotenti di R è un ideale di R e l’anello-quoziente R/I è privo di elementi nilpotenti diversi dall’elemento nullo.

(b) Trovare un anello R non commutativo per il quale gli elementi nilpotenti non costituiscono un ideale.

2. Sia R un anello commutativo unitario e sia f(X) = a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} ∈ R[X].

Provare che:

(a) f(X) ∈ R[X] è un elemento invertibile in R[X] se e solo se a_{0} è un elemento invertibile di R e a_{1}, a_{2}, …, a_{n} sono nilpotenti. (Sugg. : Se b_{0} + b_{1}X + + ⋯ + b_{m}X^{m} è l’inverso di f(X), provare per induzione su r che a_{n}^{r+1}b_{m−r} = 0. Dedurne che a_{n} è nilpotente ed applicare l’esercizio 1 (iii)).

(b) f(X) ∈ R[X] è un elemento nilpotente se e solo se a_{0}, a_{1}, …, a_{n} sono elementi nilpotenti di R.

(c) f(X) ∈ R[X] è uno zero-divisore in R[X] se e solo esiste a ≠ 0 in R tale che af = 0. (Sugg. : Sia 0 ≠ g(X) = b_{0} + b_{1}X + + ⋯ + b_{m}X^{m} un polinomio di grado minimo tale che f(X)g(X) = 0. Se m = 0, l’asserto è provato. Altrimenti, a_{n}b_{m} = 0 da cui a_{n}g(X) = 0. Provare per induzione che a_{n−r}g(X) = 0 per 0 ≤ r ≤ n. Dedurne che b_{m}f(X) = 0).

(d) Nil(R[X])=Jac(R[X]).

3. Siano K un campo e K[[X]] l’anello delle serie formali a coefficienti in K. Se f = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}X^{n} ≠ 0, sia o(f) = min {n | a_{n} ≠ 0} e o(0) = ∞; o(f) è detto l’ ordine della serie formale f.

(a) Provare che se f, g ∈ K[[X]], allora:

i. o(fg) = o(f) + o(g).

ii. o(f + g) ≥ min {o(f), o(g)}. iii. f|g se e solo se o(f) ≤ o(g). iv. f è un elemento invertibile in K[[X]] se e solo se a_{0} ≠ 0. v. Se f ≠ 0, allora f e X^{o(f)} sono associati. Dedurne che X è il solo elemento irriducibile (a meno di elementi associati) di K[[X]].

vi. K[[X]] è un PID. Di fatto, ogni ideale non nullo è generato

da X^{m} per qualche m ≥ 0. vii. K[[X]] possiede un solo ideale massimale e l’unico ideale

primo non massimale di K[[X]] è (0).

(b) Stabilire se K[[X]] è un ED.

4. Sia K un campo. K((X)) denoti l’insieme delle serie formali di Laurent in una indeterminata X a coefficienti in K, cioè :

K((X)) = {∑_{n=m}^{∞} a_{n}X^{n} | a_{n} ∈ K, m ∈ ℤ qualsiasi} .

Si definiscano in K((X)) le operazioni di somma e prodotto in modo analogo a quelle definite in K[[X]]. Verificare che K((X)) è il campo dei quozienti di K[[X]].

5. Sia R un anello commutativo unitario. Provare che:

(a) Se I è un ideale di R, allora M_{n}(I) è un ideale di M_{n}(R) .

(b) Se J è un ideale di M_{n}(R), allora esiste un ideale I di R tale che J = M_{n}(I).

(c) M_{n}(R[X]) ≅ M_{n}(R)[X].

6. Siano f : A ⟶ C e g : B ⟶ C omomorfismi di anelli commutativi. Si dice prodotto fibrato di A e B su C, e lo si denota con A ×_{C} B, una terna (R, f′, g′), dove R è un anello commutativo e f′ : R ⟶ B e g′ : R ⟶ A sono omomorfismi di anelli tali che f ∘ g′ = g ∘ f′ e che valga la seguente proprietà universale:

se (T, f′′, g′′), dove T è un anello commutativo e f′′ : T ⟶ B e g′′ : T ⟶ A sono omomorfismi di anelli tali che f ∘g′′ = g ∘f′′, allora esiste uno ed un solo omomorfismo anulare h : T ⟶ R tale che f′ ∘ h = f′′ e g′ ∘ h = g′′.

(a) Provare che due prodotti fibrati di A e B su C sono isomorfi.

(b) Nell’anello A × B si consideri il seguente sottoanello:

R = {(a, b) | f(a) = g(b)} .

Siano f′ : R ⟶ B e g′ : R ⟶ A le restrizioni ad R delle proiezioni canoniche. Provare che (R, f′, g′) è il prodotto fibrato di A e B su C.

(c) Siano I_{1} e I_{2} ideali di un anello commutativo A e π_{h} : R/I_{h} ⟶ R/I_{1} + I_{2} ed λ_{h} : R/I_{1} ∩ I_{2} ⟶ R/I_{h} gli omomorfismi suriettivi canonici (h = 1, 2). Provare che (R/I_{1} ∩ I_{2}, λ_{1}, λ_{2}) è il prodotto fibrato di R/I_{1} e R/I_{2} su R/I_{1} + I_{2}.

7. Sia (R, M) un anello locale. Provare che:

(a) Gli unici elementi idempotenti di R sono 0 e 1.

(b) La caratteristica di R è zero oppure la potenza di un numero primo.