Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Esercizi 1 - Moduli

Nel seguito R denota un anello unitario non nullo.

1. Sia R un anello commutativo, siano I e J ideali di R. Provare che R/I e R/J sono R-moduli isomorfi se e solo se I = J. Cosa si può dire per gli anelli R/I e R/J ?

2. Siano M un R-modulo ed A, B e C suoi sottomoduli. Provare che se

C ⊆ A, allora

A ∩ (B + C) = (A ∩ B) + C.

Questa uguaglianza è nota come “legge modulare”.

Provare, con un esempio, che questa formula non sussiste se C non è contenuto in A.

3. Sia R = M_{2}(ℝ); si consideri R come R-modulo; sia x = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} );

trovare Ann(x) e Ann(⟨x⟩).

4. Provare che il sottoanello ℤ[\frac{p}{q}] di ℚ non è finitamente generato come ℤ-modulo se \frac{p}{q} ∉ ℤ.

5. Sia K un campo. Sia R ⊆ K[X] il sottoanello

R = {f(X) ∈ K[X] | f(X) = a_{0} + a_{2}X^{2} + … + a_{n}X^{n}} .

Provare che K[X] è un R-modulo finitamente generato, libero da torsione e non libero.

6. Siano M un R-modulo ed f un endomorfismo di M tale che f ∘ f = f.

Provare che

M ≅ (Ker(f) ⊕ Im(f)).

7. Sia R un anello commutativo; si consideri R[X] come R-modulo; allora N = R[X^{2}] è un R-sottomodulo di M. Provare che M/N ≅ R[X] come R-moduli.

8. Sia u = (a, b) ∈ ℤ^{2}.

(a) Provare che esiste una base di ℤ^{2} contenente u se e solo se a e b sono coprimi.

(b) Sia u = (5, 12); trovare v ∈ ℤ^{2} tale che (u, v) è una base di ℤ^{2}.

9. Provare che se F_{1} ed F_{2} sono R-moduli liberi, allora anche F_{1} ⊕ F_{2} è un R-modulo libero.

Provare che la somma diretta di una qualsiasi famiglia di R-moduli liberi è un modulo libero.

10. Siano N_{1} ed N_{2} sottomoduli di un R-modulo M. Verificare che la seguente successione di R-moduli :

0 → N_{1} ∩ N_{2} →^{φ} N_{1} ⊕ N_{2} →^{ψ} N_{1} + N_{2}→0

dove φ(x) = (x, x) e ψ(x, y) = x − y, è esatta.

11. Siano D un dominio di integrità ed a e b elementi non nulli di D. Siano M = D/(ab)ed N = (a)/(ab). Allora M è un D-modulo ed N un suo sottomodulo. Provare che N è un addendo diretto di M se e solo se esistono c, d ∈ D tali che ca + db = 1.