Università degli studi di Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2005/2006 TE1 (Teoria di Galois) - Prof. S. Gabelli

Prima prova di valutazione intermedia, 5 Aprile 2006

1. Sia α = \sqrt[3]{5} e K := ℚ(α). Verificare che K ha grado 3 su ℚ ed esprimere i seguenti elementi come polinomi di grado al più 2 in α:

α^{5} − α^{6} e \frac{α}{α^{2} + 1}.

2. Sia f(X) := X^{3} + 3X + 6 ∈ ℚ[X] e sia α una sua radice reale. (1) Stabilire se f(X) è irriducibile su ℚ;

(2) Stabilire se ℚ(α) è normale su ℚ;

(3) Determinare la struttura del gruppo di Galois di f(X) su ℚ.

3. Sia f(X) := X^{4} − 2X^{2} − 2 e sia K il suo campo di spezzamento in ℂ. (1) Determinare la struttura del gruppo di Galois di f(X) su ℚ;

(2) (facoltativo) Determinare un elemento primitivo per K.

4. Sia ξ una radice primitiva decima dell’unità.

(1) Determinare esplicitamente gli automorfismi di ℚ(ξ);

(2) Verificare che ℚ(ξ) = ℚ(ξ^{2});

(3) Determinare il polinomio minimo del numero α := ξ^{2} + ξ^{8};

(4) Usando (3), calcolare esplicitamente α.