Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2 - gruppi, anelli e campi

Prova di Esame - Appello B

15 febbraio 2005 Soluzione 1. Sia C_{21} il gruppo delle radici complesse 21-esime dell’unità.

(a) Verificare che C_{21} è un gruppo ciclico.

(b) Determinare i suoi generatori.

(c) Determinare i suoi sottogruppi. Soluzione Ricordiamo che

C_{21} = \{z ∈ ℂ : z^{21} − 1\} = \{z_{k} = e^{\frac{2πi}{21} k} : k = 0 … 20\}

(a) Poniamo ζ = e^{\frac{2πi}{21}} , allora

z_{k} = e^{\frac{2πi}{21} k} = (e^{\frac{2πi}{21}} )^{k} = ζ^{k}.

quindi

C_{21} = ⟨ζ⟩

(b) I generatori di C_{21} sono i ζ^{k} tali che mcd(k, 21) = 1, cioè le radici primitive dell’unità.

(c) C_{21} è un gruppo ciclico, quindi ha un sottogruppo per ogni divisore dell’ordine. Ord(C_{21}) = 21 = 7·3. Quindi ci sono due sottogruppi non banali, dati da

H = ⟨ζ^{3}⟩
K = ⟨ζ^{7}⟩

tali che Ord(H) = 7 e Ord(K) = 3 2. Sia

Gl_{2} (ℂ) = \{A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a, b, c, d ∈ ℂ, det A ≠ 0\} .

(a) Verificare che l’applicazione

ϕ : (GL_{2}(ℂ), ·) → (ℂ^{∗}, ·) definita da ϕ(A) = det A

è un omomorfismo di gruppi.

(b) Applicare il teorema di omomorfismo. Soluzione

(a) Dobbiamo verificare che ϕ(A·B) = ϕ(A)ϕ(B) per ogni A e B ∈ Gl_{2}

ϕ(A · B) = det(A · B)
= det (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ))
= aαdδ + bγcβ − cαbδ − dγaβ
ϕ(A) · ϕ(B) = det(A) det(B)
= det (( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )) det (( \begin{matrix}α & β \\ γ & δ \end{matrix} ))
= aαdδ + bγcβ − cαbδ − dγaβ

Quindi ϕ è un omomorfismo

(b) Per applicare il teorema di omomorfismo dobbiamo determinare il nucleo e l’immagine di ϕ

ker ϕ = {A ∈ Gl_{2} : det(A) = 1} = Sl_{2}(ℂ)
Imϕ = {z ∈ ℂ^{∗} : ∃ A ∈ Gl_{2} e ϕ(A) = z} = ℂ^{∗}

Allora il teorema di omomorfismo ci dice che esiste un isomorfismo

\overline{ϕ} : Gl_{2}(ℂ)/ ker ϕ → ℂ^{∗}

definito da

\overline{ϕ}(A ker ϕ) = det(A)

3. Sia p ≥ 2 primo e si consideri l’anello

R = M_{2} (ℤ_{p}) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a, b, c, d ∈ ℤ_{p}\}

con l’usuale somma e prodotto fra matrici.

(a) Determinare la cardinalità di R.

(b) Verificare che R non è commutativo.

(c) Determinare il centro di R,

Z(R) = {x ∈ R : xy = yx, per ogni y ∈ R}

e verificare che esso è isomorfo a ℤ_{p}.

(d) Stabilire se

S = Gl_{2} (ℤ_{p}) = \{A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ R : det A ≠ 0\}

è un sottoanello di R. Soluzione

(a) #(R) = p^{4}

(b) Consideriamo A = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) e B = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ), allora

A · B = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

B · A = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )

Quindi R non è commutativo.

(c) Sia x ∈ R allora x ∈ Z(R) ⇔ ∀ y ∈ R xy = yx, risolvendo il

sistema associato otteniamo che:

x ∈ Z(R) ⇔ x = a · Id e a ∈ ℤ_{p}

Quindi possiamo definire l’applicazione ϕ : Z(R) → ℤ_{p} tramite ϕ(a · Id) = a. Si verifica facilmente che ϕ è un isomorfismo di anelli.

(d) S non è un sottoanello perché ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∉ S 4. Sia f(X) = X^{4} + 4 ∈ ℚ[X].

(a) Determinare il campo di spezzamento K di f(X) su ℚ.

(b) Stabilire il grado di K su ℚ.

(c) Determinare una base di K su ℚ.

Soluzione

(a) Osserviamo che X^{4} + 4 non è irriducibile, infatti:

X^{4} + 4 = (X^{2} + 2X + 2)(X^{2} − 2x + 2)

Sia f(X) = X^{2} + 2X + 2, f è irriducibile perché di grado 2 e non ha radici in ℚ. Osserviamo che in ℂ, f ha per radici X_{1} = −1 + i e X_{2} = −1 − i. Allora

ℚ[X]/(f(X)) ≅ ℚ[−1 + i] = ℚ[i]

Quindi il campo di spezzamento di f è ℚ[i]. Sia g(X) = X^{2} − 2X + 2, vediamo se g è irriducibile o no su ℚ[i]. Notiamo che le radici di g sono X_{3} = 1 + i e X_{4} = 1 − i, quindi g è riducibile e

g(X) = (X − (1 + i))(X − (1 − i)).

Dunque il campo di spezzamento di X^{4} + 4 è ℚ[i].

(b) Il grado di ℚ[i] su ℚ è dato dal grado del polinomio minimo di i su ℚ, quindi [ℚ[i] : ℚ] = 2

(c) Una base di ℚ[i] su ℚ è data da {1, i}.