Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Soluzioni 10 dicembre 2004

1 Polinomio minimo e ampliamenti

1. Determinare il polinomio minimo di z sul campo K

(a) z = 2 + i, K = ℚ.

(b) z = \sqrt{2} + 2i, K = ℚ.

(c) z = 2i, K = ℚ.

(d) z = π + i, K = ℝ.

(e) z = \sqrt{3}, K = ℚ.

(f) z = \sqrt[3]{6}, K = ℚ.

Soluzione 1.1. (a) Per prima cosa verifichiamo che z è algebrico su K, cioè determiniamo un polinomio non nullo di cui z è radice.

z = 2 + i
z − 2 = i
(z − 2)^{2} = i^{2}
z^{2} − 4z + 4 = −1
z^{2} − 4z + 5 = 0

Quindi f(X) = X^{2} − 4X + 5 ∈ ℚ[X] ha per radice z = 2 + i, quindi z è algebrico. Verifichiamo che f(X) è anche il polinomio minimo. Per fare questo dobbiamo vedere che è irriducibile. Essendo f(X) di grado 2 è sufficiente far vedere chef(X) = 0 non ha radici in ℚ. Usando la formula per le soluzioni di un’equazione di grado 2 otteniamo che le radici di f(X) = 0 sono:

i. z = 2 + i ii. z = 2 − i

Notiamo che possiamo trovare le radici di f(X) più rapidamente osservando che f(X) ha coefficienti in ℚ quindi reali e una soluzione complessa z = 2 + i quindi anche \overline{z} = 2 − i deve essere una radice di f(X) = 0. Quindi il polinomio minimo di z = 2 + i su ℚ è f(X) = X^{2} − 4X + 5.

(b) Il polinomio minimo di z = \sqrt{2} + 2i suℚ è X^{4} + 4X^{2} + 36.

(c) Il polinomio minimo di z = 2i su ℚ è X^{2} + 4.

(d) Il polinomio minimo di z = π + i su ℝ è X^{2} − 2πX + π + 1.

(e) Il polinomio minimo di z = \sqrt{3} su ℚ è X^{2} − 3.

(f) Il polinomio minimo di z = \sqrt[3]{6} su ℚ è X^{3} − 6.

2. Costruire esplicitamente i seguenti ampliamenti di ℚ • ℚ(\sqrt{2}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{6}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{8}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}).

• ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}). Soluzione 1.2. (a)

ℚ(\sqrt{2}) = ℚ[\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2} : a, b ∈ ℚ\}

(b)

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} : a, b, c, d ∈ ℚ\}

(c)

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{6}) = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{6} + d\sqrt{12} : a, b, c, d ∈ ℚ\}
= \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{6} + 2d\sqrt{3} : a, b, c, d ∈ ℚ\}
= \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{6} + d′\sqrt{3} : a, b, c, d′ ∈ ℚ\}
= ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})

(d)

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{8}) = ℚ(\sqrt{2})

(e)

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}) = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3})

(f)

ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{7}) = \{a + b\sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} + a′\sqrt{7} + b′\sqrt{14}
+c′\sqrt{21} + d′\sqrt{42} : a, b, c, d, a′, b′, c′, d′ ∈ ℚ\}

3. Dimostrare che per ogni d ∈ Q i seguenti ampliamenti di ℚ sono isomorfi:

(a) ℚ(\sqrt{d}).

(b) ℚ(a + b\sqrt{d}).

(c) ℚ(c\sqrt{d}).

Per ogni a, b e c ∈ ℚ.

Soluzione 1.3. Ricordiamo che

ℚ(\sqrt{d}) = \{a + b\sqrt{d} : a, b ∈ ℚ\}

Dimostriamo che ℚ(\sqrt{d}) ≅ ℚ(c\sqrt{d}). Sia, ϕ : ℚ(c\sqrt{d}) → ℚ(\sqrt{d}) definita da

ϕ(x + yc\sqrt{d}) = x + y\sqrt{d}

Verificare che ϕ è un omomorfismo di campi iniettivo e un semplice esercizio. Notiamo che dim_{ℚ} ℚ(c\sqrt{d}) = 2 = dim_{ℚ} ℚ(\sqrt{d}), quindi sono isomorfi. Analogamente si ottiene che ℚ(\sqrt{d}) ≅ ℚ(a + b\sqrt{d}).

2 Campi di spezzamento

1. Sia f(X) un polinomio di grado n su ℤ_{p} e sia α una sua radice (in un opportuno ampliamento di ℤ_{p}). Mostrare che le radici di f(X) sono:

α, α^{p}, α^{p^{2}}, …, α^{p^{n−1}}.

Dedurne che se m(X) è irriducibile su ℤ_{p}, allora m(X) ha tutte le sue

radici in \frac{ℤ_{p}[X]}{(m(X))}.

Soluzione 2.1. Osserviamo che ∀ a ∈ ℤ_{p} si ha

(X − a)^{p} = X^{p} − a^{p}

Più in generale si ha

(a_{n}X^{n} + … + a_{1}X + a_{0})^{p} = a_{n}^{p}X^{p}n + … + a_{1}^{p}X + a_{0}^{p}

Sia f(X) = a_{n}X^{n} + … + a_{1}X + a_{0} allora

f(X)^{p} = a_{n}^{p}X^{p}n + … + a_{1}^{p}X + a_{0}^{p}  (1)
= a_{n}(X^{p})^{n} + … + a_{1}(X^{p}) + a_{0}  (2)
= f(X^{p})  (3)

Dove abbiamo usato il piccolo teorema di Fermat per dire che a_{i}^{p} = a_{i}. Quindi procediamo per induzione. Sappiamo per ipotesi che α è radice. Allora

f(α^{p}) = f(α)^{p} = 0

Quindi α^{p} è radice. Supponiamo che β = α^{p^{i}} sia radice, allora β^{p} = α^{p^{i+1}} è radice.

f(α^{p^{i+1}}) = f(β^{p}) = f(β)^{p} = f(α^{p^{i}})^{p} = 0

Quindi α^{p^{i}} ∀i sono radici di f(X). Sia m(X) irriducibile su ℤ_{p} allora

su K = \frac{ℤ_{p}[X]}{(m(X))} ha una radice data da \overline{X}. Quindi tutte le sue radici

sono date da \overline{X}^{p^{i}},e appartengono a K.

2. Determinare un campo contenente ℤ_{3} in cui il polinomio X^{4} + 2X^{3} + 2X + 2 ha tutte le sue radici.

Soluzione 2.2. Poniamo f(X) = X^{4} +2X^{3} +2X +2, osserviamo che f(X) non ha radici in ℤ_{3}. Ma

f(X) = (X^{2} + 1)(X^{2} + 2X + 2)

Poniamo g(X) = X^{2} + 1, allora g(X) è irriducibile perché ha grado 2 e non ha radici in ℤ_{3}. Poniamo

K = ℤ_{3}[X]/(g(X)) = \{a + b\overline{X} : a, b ∈ ℤ_{3}\}

Poniamo, per semplicità, i = \overline{X}, allora su K

g(t) = (t^{2} + 1) = (t + 2i)(t + i)

Poniamo h(t) = t^{2} + 2t + 2, vediamo se h(t) ha radici in K. Si ha che 2 + i e 2 + 2i sono radici di h(t). Quindi

h(t) = (t − (2 + i))(t − (2 + 2i))

Dunque K è il campo di spezzamento di f, infatti su K

f(t) = (t + 2i)(t + i)(t − (2 + i))(t − (2 + 2i)).

3. Determinare il campo di spezzamento dei seguenti polinomi sul campo K.

(a) x^{2} − 2, K = ℚ

(b) x^{4} + 5x^{2} − 6, K = ℚ

(c) 2x^{2} − 6, K = ℚ

(d) x^{4} + 2, K = ℚ

(e) x^{2} − 2\sqrt{3}x + 1, K = ℚ[\sqrt{3}]

(f) x^{5} − 4x^{4} + 12x^{2} − 4x − 8, 𝕂 = ℚ Soluzione 2.3. (a) Osserviamo che su ℚ x^{2}−2 è irriducibile. Quin-

di K = ℚ[x]/(x^{2} − 2) = ℚ[\sqrt{2}] è un campo. Notiamo che su K, si ha

t^{2} − 2 = (t − \sqrt{2})(t + \sqrt{2})

Quindi K è il campo di spezzamento di x^{2} − 2.

(b) Il campo di spezzamento di x^{4} + 5x^{2} − 6 è ℚ[i\sqrt{6}]

(c) Il campo di spezzamento di 2x^{2} − 6 è ℚ[\sqrt{3}]

(d) Il campo di spezzamento di x^{4} + 2 è ℚ[i\sqrt{4}2

(e) Il campo di spezzamento di x^{2} − 2\sqrt{3}x + 1 è ℚ[\sqrt{3}, \sqrt{2}]

(f) Il campo di spezzamento di x^{5} − 4x^{4} + 12x^{2} − 4x − 8 è ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}]

3 Numeri algebrici

1. Dimostrare che cos(1^{∘}) + i sin(1^{∘}) è algebrico su ℚ, dove 1^{∘} = \frac{2π}{360}

Soluzione 3.1. Poniamo z = cos(1^{∘})+i sin(1^{∘}), per dimostrare che z è algebrico su ℚ basta trovare un polinomio non nullo f(X) a coefficienti in ℚ tale che z è radice di f(X) = 0. Notiamo che, in notazione complessa

z = e^{\frac{2πi}{360}}

Quindi

z = e^{\frac{2πi}{360}}
z^{360} = (e^{\frac{2πi}{360}} )^{360}
z^{360} = e^{2πi} = 1
z^{360} − 1 = 0.

Quindi z è radice di f(X) = X^{360} − 1 = 0, dunque è algebrico su ℚ. Notiamo che f(X) non è il polinomio minimo di z, infatti f(X) è riducibile, essendo 1 radice di f(X) = 0.

2. In generale dimostrare che cos(m^{∘}) + i sin(m^{∘}) è algebrico su ℚ per ogni intero m

Soluzione 3.2. Analogamente all’esercizio 1, si ha che, posto z = cos(m^{∘}) + i sin(m^{∘}), z è radice di X^{360} − 1 = 0

4 Campi Finiti

1. Sia F un campo con un numero finito q di elementi (a) Dimostrare che esiste un numero primo p tale che

pa = \underbrace{a + ⋯ + a}_{p−volte} = 0

per ogni a ∈ F.

(b) Dimostrare che q = p^{n} per un certo intero n.

(c) Se a ∈ F, dimostrare che a^{q} = a.

(d) Se b ∈ K è algebrico su F, dimostrare che b^{q^{m}} = b per qualche intero m > 0.

Soluzione 4.1. (a) Basta vedere che esiste un numero primo p tale

che:

\underbrace{1 + ⋯ + 1}_{p−volte} = 0

Poiché F ha un numero finito di elementi, esiste sicuramente un intero positivo m tale che

\underbrace{1 + ⋯ + 1}_{m−volte} = 0

Sia, p il più piccolo intero positivo che ha la proprietà precedente, poniamo

C = {i · 1 : i ∈ ℤ}

Allora C ≅ ℤ_{p}, ma C è un campo quindi p è un numero primo.Ricordiamo che p si chiama la caratteristica di F e che C è il sottocampo fondamentale di F.

(b) Osserviamo che F è uno spazio vettoriale di dimensione finita su C = ℤ_{p}. Sia n = dim_{C} F = deg F. Consideriamo v_{1} … v_{n} una base di F su C. Quindi ogni elemento di F si scrive in modo unico come a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}, con a_{i} ∈ C ≅ ℤ_{p}. Allora

q = #(F) = p^{n}

(c) Osserviamo che il gruppo delle unità di F ha ordine q − 1, quindi

per ogni a ∈ F^{∗} si ha

a^{q−1} = 1

Quindi per ogni a ∈ F si ha, essendo 0^{q} = 0

a^{q} = a (d) Se b ∈ K è algebrico su F, allora esiste un polinomio f(X) a

coefficienti in F non nullo irriducibile di grado m tale che f(b) = 0. consideriamo l’estensione K̃ di F grado m data f(X) allora, a meno di isomorfismo, b ∈ K̃ ⊂ K e K̃ è un campo finito con q^{m} elementi. Quindi per quanto detto in precedenza si ha

b^{q^{m}} = b.

2. Sia F un campo con p^{n} elementi, provare che esiste un polinomio q in ℤ_{p} [x] tale che F ≅ ℤ_{p} [x] / (q).

Soluzione 4.2. Ricordiamo che il sottocampo fondamentale di F è ℤ_{p}. Osserviamo che il gruppo delle unità di F ha ordine p^{n} − 1. Quindi per ogni α ∈ F^{∗} si ha

α^{p^{n}−1} = 1

Quindi ogni elemento di F verifica l’equazione

q(X) = X^{p^{n}} − X = 0

q(X) ∈ ℤ_{p}[X]. Osserviamo che q(X) ha p^{n} radici in F, quindi F è il campo di spezzamento di q(X). Poiché il campo di spezzamento di q(X) ,a meno di isomorfismo, è ℤ_{p}[X]/(q(X)), si ha che F ≅ ℤ_{p}[X]/(q(X)).

3. Costruire un campo, se possibile, con le seguenti cardinalità: 3, 6, 16, 27, 32, 144, 256, 3125.

Soluzione 4.3. Sappiamo che i campi finiti possono aver cardinalità solo potenze di un numero primo, per cui le cardinalità possibili sono 3, 27 = 3^{3},32 = 2^{5}, 32 = 2^{8} e 3125 = 5^{5}

5 Irriducibilità

1. Trovare le componenti irriducibili di f(x) in K[x], con K = ℤ, ℚ e ℝ

(a) f(x) = x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 8x − 8

(b) f(x) = x^{4} + 2x^{3} − x^{2} + 2x + 1

(c) f(x) = 2x^{3} + 6x^{2} + 6x + 2

(d) f(x) = x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} + 1

Soluzione 5.1. Sia K = ℤ allora

(a) f(x) = x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 8x − 8 = (x − 2)^{2}(x^{2} − 2)

(b) f(x) = x^{4} + 2x^{3} − x^{2} + 2x + 1 = (1 − x + x^{2})(1 + 3x + x^{2})

(c) f(x) = 2x^{3} + 6x^{2} + 6x + 2 = 2(1 + x)^{3}

(d) f(x) = x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} + 1 = (1 + x)^{3}(1 − x + x^{2})^{3} Sia K = ℚ allora

(a) f(x) = x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 8x − 8 = (x − 2)^{2}(x^{2} − 2)

(b) f(x) = x^{4} + 2x^{3} − x^{2} + 2x + 1 = (1 − x + x^{2})(1 + 3x + x^{2})

(c) f(x) = 2x^{3} + 6x^{2} + 6x + 2 = 2(1 + x)^{3}

(d) f(x) = x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} + 1 = (1 + x)^{3}(1 − x + x^{2})^{3} Sia K = ℝ allora

(a) f(x) = x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 8x − 8 == (x − 2)^{2}(x − \sqrt{2})(x + \sqrt{2})

(b) f(x) = x^{4}+2x^{3}−x^{2}+2x+1 = (1−x+x^{2})(x− \frac{−3−\sqrt{5}}{2})(x− \frac{−3+\sqrt{5}}{2})

(c) f(x) = 2x^{3} + 6x^{2} + 6x + 2 = 2(1 + x)^{3}

(d) f(x) = x^{9} + 3x^{6} + 3x^{3} + 1 = (1 + x)^{3}(1 − x + x^{2})^{3}