Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Soluzioni 26 Novembre 2004

1 Anelli e Ideali

1. Dati due anelli R e R′, introdurre una struttura di anello nel prodotto cartesiano R × R′.

Soluzione 1.1. Osserviamo che (R, +) e (R′, +) sono gruppi abeliani, consideriamo (R × R′, +) il prodotto diretto. Definiamo il prodotto su (R × R′, +). Siano (a, b) e (x, y) ∈ R × R′ poniamo

(a, b) • (x, y) = (ax, by) .

la compatibilità fra le due operazioni è data dalla compatibilità delle operazioni di R e R′.

2. Sia R un anello tale che a^{2} = a ∀a ∈ R; dimostrare che R è commutativo.

Soluzione 1.2. Ricordiamo che R è abeliano se è abeliano come gruppo moltiplicativo. Siano a e b ∈ R allora

ab = (ab)^{2} e ab = a^{2}b^{2}

Dunque (ab)^{2} = ab = a^{2}b^{2} da cui R è abeliano.

3. Siano I e J due ideali di un anello R tali che I ∩ J = {0}; dimostrere che, ∀h ∈ I e ∀k ∈ J, risulta hk = 0.

Soluzione 1.3. Sia h ∈ I e k ∈ J allora dalle proprietà degli ideali si ha che:

hk ∈ I
hk ∈ J

Dunque hk ∈ I ∩ J = {0}.

4. Si studi la relazione di inclusione nell’insieme degli ideali degli anelli ℤ_{101} e ℤ_{90}; dire quali fra gli ideali sono massimali e quali minimali. Determinare i quozienti relativi agli ideali massimali e minimali.

Soluzione 1.4. Ricordiamo che in ℤ_{n} si ha:

I è un ideale ⇔ ∃q ∈ ℤ : p|q e I = qℤ_{n}
qℤ_{n} ⊂ wℤ_{n} ⇔ w|q

Sia n = p_{1}^{i_{1}} ⋯ p_{k}^{i_{k}} una decomposizione in primi di n. Allora mℤ_{n} è massimale ⇔ m = p_{j} per qualche j ed è minimale ⇔ m = p_{1}^{i_{1}} ⋯ p_{j}^{i_{j}−1} ⋯ p_{k}^{i_{k}} per qualche j. Consideriamo ℤ_{101}, 101 è primo, dunque ℤ_{101} non ha ideali non banali. Consideriamo ℤ_{90}, 90 = 2 × 3^{2} × 5, i suoi ideali massimali sono 2ℤ_{90}, 3ℤ_{90} e 5ℤ_{90}, mentre i suoi ideali minimali sono 45ℤ_{90}, 18ℤ_{90} e 30ℤ_{90}. I quozienti sono nell’ordine ℤ_{2}, ℤ_{3}, ℤ_{5}, ℤ_{45}, 2ℤ_{18}, e ℤ_{30}. Infine abbiamo il seguente diagramma delle inclusioni:

[figure: 6ℤ_{90}; 18ℤ_{90}; 2ℤ_{90}; 9ℤ_{90}; 90ℤ_{90} = {0}; 30ℤ_{90}; 3ℤ_{90}; 1ℤ_{90} = ℤ_{90}; 10ℤ_{90}; 45ℤ_{90}; 5ℤ_{90}; 15ℤ_{90}]

Dove le freccie indicano l’inclusione.

5. Se F è un campo dimostrare che i suoi soli ideali sono quelli banali.

Soluzione 1.5. Sia I un ideale non nullo di F. Sia i ∈ I allora esiste a ∈ F tale che ia = 1. Quindi 1 = ai ∈ I ⇒ I = F

2 Ideali

1. Sia R un anello, I un ideale di R e 1 ∈ I allora I = R

Soluzione 2.1. Ricordiamo che se I è un anello allora, ∀a ∈ I e ∀b ∈ R: ba ∈ I. Poiché 1 ∈ I allora,∀a ∈ R, a = a · 1 ∈ I.

2. Sia R un anello commutativo e a ∈ R

(a) dimostrare che aR = {ar : r ∈ R} è un ideale bilatero di R.

(b) dimostrare con un esempio che ciò può non essere vero se R non è commutativo.

Soluzione 2.2. (a) aR è un idela destro per definizione, poichè R è commutativo, ogni ideale destro è anche un ideale sistro.

(b) Consideriamo R = M_{2}(ℝ), a = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). Allora

aR = {A = (a_{ij}) : a_{2j} = 0∀j}

che è un ideale destro ma non sinistro.

3. Dimostrare che tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ.

Soluzione 2.3. Sappiamo che un ideale di un anello R è anche un sottogruppo additivo. I sottogruppi additivi di ℤ sono nℤ, per cui tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ. É facile verificare che ogni nℤ è un ideale.

4. Dimostrare che nℤ è un ideale primo se e solo se n è primo o n = 0.

Soluzione 2.4. Supponiamo I primo non nullo. Allora I = nℤ per qualche n.

I primo ⇒ ∀a e b ∈ R : ab ∈ I allora a ∈ I o b ∈ I.

La seconda parte ci dice che:

∀a e b ∈ ℤ : n|ab ⇒ n|a o n|b.

Dunque n è primo. Il viceversa è ovvio.

5. Sia I un ideale di ℤ non nullo. Dimostrare che I è primo ⇔ I è massimale.

Soluzione 2.5. Usiamo la seguente caratterizazione degli ideali massimali:

I è massimale ⇔ R/I è un campo.

Grazie all’esercizio 4 sappiamo che I è primo non nullo ⇔ I = pℤ con p primo. Dunque

ℤ/I = ℤ/pℤ è un campo ⇒ I è massimale.

Il viceversa è sempre vero, ogni ideale massimale è primo.

6. Teorema Cinese dei resti Siano I_{1}, ⋯, I_{n} ideali di R, anello commutativo con identità, tali che I_{i} + I_{j} = R per ogni i ≠ j. Siano x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ R, allora esiste x ∈ R tale che x ≡ x_{i} mod I_{i}. Verificare che per R = ℤ si ottiene l’usuale teorema cinese dei resti.

Soluzione 2.6. Dimostriamolo per induzione. Se n = 2, abbiamo

1 = a_{1} + a_{2}

per qualche elemento a_{i} ∈ I_{i}, e poniamo x = x_{2}a_{1} + x_{1}a_{2}. Per i ≥ 2, possiamo trovare degli elementi a_{i} ∈ a_{1} e b_{i} ∈ a_{i} tali che

1 = a_{i} + b_{i}, ∀i ≥ 2.

Il prodotto ∏_{i=2}^{n} a_{i} + b_{i} è uguale ad 1, e vive in I_{1} + ∏_{i=2}^{n} I_{i}. Dunque

I_{1} + ∏_{i=2}^{n} I_{i} = A.

Grazie al teorema per n = 2, esiste y_{1} ∈ A tale che

y_{1} ≅ 1 mod I_{1}  (1)
y_{1} ≅ 0 mod ∏_{i=2}^{n} I_{i}  (2)

Per induzione esistono y_{2} · y_{n} tali che

y_{i} ≅ 1 mod I_{i}  (3)
y_{i} ≅ 0 mod I_{j} i ≠ j.  (4)

Allora x = x_{1}y_{1} + · + x_{n}y_{n} è l’elemento cercato.

7. Consideriamo

(a) ℤ_{30} e R = \{\overline{0}, \overline{6}, \overline{12}, \overline{18}, \overline{24}\} ⊂ ℤ_{30}.

(b) ℤ_{20} e R = \{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15}\} ⊂ ℤ_{20}.

Verificare, in entrambi i casi, se R è un sottoanello, ha divisori dello zero, ed è un campo. Trovare un anello ad esso isomorfo.

Soluzione 2.7. (a) \{\overline{0}, \overline{6}, \overline{12}, \overline{18}, \overline{24}\} è un sottoanello, non ha divisori dello zero, è un campo ed è isomorfo a ℤ_{5}.

(b) \{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15}\} è un sottoanello, ha divisori dello zero 10 ∗ 10 = 100 = 0 mod 20, dunque non è un campo ed è isomorfo ℤ_{4}.

3 Anelli e Anelli di polinomi

1. Dimostrare che se R un anello commutativo con identità, anche R [x] lo è

Soluzione 3.1. R [x] è commutativo se ∀ p(x) e q(x) ∈ R [x] si ha p(x)q(x) = q(x)p(x). Per semplicità consideriamo p(x) = ax + b e q(x) = cx + d allora

p(x)q(x) = (ax + b)(cx + d)
= acx^{2} + (ad + bc)x + bd
q(x)p(x) = (cx + d)(ax + b)
= cax^{2} + (da + cb)x + db

poiché R è commutativo si ha p(x)q(x) = q(x)p(x). Il caso generale si ottiene per induzione sul grado dei polinomi p e q.

2. Dimostrare che R [x_{1}, ⋯, x_{n}] = R [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}] con (i_{1}, ⋯, i_{n}) una permutazione di (1, ⋯, n)

Soluzione 3.2. Definiamo

ϕ : R [x_{1}, ⋯, x_{n}] → R [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}]

come ϕ(a) = a, ∀ a ∈ R e ϕ(x_{j}) = x_{i_{j}},per j = 1 ⋯ n. Allora ϕ è un isomorfismo, verificarlo, e R [x_{1}, ⋯, x_{n}] = R [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}]

3. Dimostrare che l’ideale generato da x in ℤ [x] non è massimale; è primo ?

Soluzione 3.3. Usiamo la seguente caratterizazione degli ideali primi e degli ideali massimali:

I è primo ⇔ R/I è un dominio.

I è massimale ⇔ R/I è un campo.

Allora

ℤ [x] /(x) ≅ ℤ

Poichè ℤ è un dominio ma non un campo, (x) è primo ma non massimale. La non massimalità si può vedere direttamente osservando che (x) ⊂ (x) + I con I un qualsiasi ideale di ℤ

4. Dimostrare che l’ideale generato da x in ℝ [x] è massimale.

Soluzione 3.4. Usiamo la seguente caratterizazione degli ideali massimali:

I è massimale ⇔ R/I è un campo.

Allora

ℝ [x] /(x) ≅ ℝ

Poichè ℝ è un campo, (x) è massimale.

5. Trovare una condizione necessaria e sufficente affinché l’ideale generato da x sia massimale in R [x].

Soluzione 3.5. Condizione necessaria e sufficente affinche (x) sia massimale è che R sia un campo.

6. Trovare una condizione necessaria e sufficente affinché l’ideale generato da x sia primo in R [x].

Soluzione 3.6. Condizione necessaria e sufficente affinche (x) sia primo è che R sia un dominio.

4 Omomorfismi e Quozienti

1. Consideriamo l’applicazione

π_{0} : ℂ [x] → ℂ

definita da

π_{0}(f(x)) = f(0)

Verificare che π_{0} è un omomorfismo di anelli per ogni a ∈ ℂ. Trovare il nucleo, l’immagine.

Soluzione 4.1.

2. Consideriamo l’applicazione

π_{1} : ℂ [x] → ℂ

definita da

π_{1}(f(x)) = f(1)

Verificare che π_{1} è un omomorfismo di anelli per ogni a ∈ ℂ. Trovare il nucleo, l’immagine.

Soluzione 4.2.

3. Per ogni a ∈ ℂ consideriamo l’applicazione

π_{a} : ℂ [x] → ℂ

definita da

π_{a}(f(x)) = f(a)

Verificare che π_{a} è un omomorfismo di anelli per ogni a ∈ ℂ. Trovare il nucleo, l’immagine.

Soluzione 4.3.

4. Sia a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} ∈ ℤ[x], consideriamo l’applicazione

p : ℤ[x] → ℤ[i]

definita da

p(a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0}) = a_{n}(i)^{n} + ⋯ a_{0}

Verificare se p è un omomorfismo di anelli. Trovare il nucleo, l’immagine.

Soluzione 4.4.

5. Sia R un anello con identità 1 e ϕ un omomorfismo di anelli di R su R’, dimostrare che ϕ(1) è l’unità di R’.

Soluzione 4.5.

6. Consideriamo I =< x > ideale di ℚ[x]. Determinare il quoziente ℚ[x]/I

Soluzione 4.6.

7. Consideriamo I =< x^{2} + 1 > ideale di ℝ[x]. Determinare il quoziente ℝ[x]/I

Soluzione 4.7.