Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Soluzioni 21 Novembre 2004

1 Definizione di Anello

1. Binomio Sia R un anello. Siano a e b ∈ R, allora:

(a) Dimostrare che (a + b)^{2} = a^{2} + ab + ba + b^{2}.

(b) Trovare la forma del teorema del binomio in R; trovare cioè un’espressione per (a + b)^{n}, con n intero positivo.

Soluzione 1.1. (a) Usiamo la distributività,

(a + b)^{2} = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^{2} + ab + ba + b^{2}

(b)

(a + b)^{n} = ∑_{i=(i_{0},··· ,i_{n})} a^{i_{0}}b^{i_{1}} ⋯ b^{i_{n−1}}a^{i_{n}}

tale che i_{0} + ⋯ + i_{n} = n.

2. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{n} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i < j}. Dimostrare che R è un sottoanello unitario di M_{n} (ℝ).

Soluzione 1.2. Bisogna verificare che ∀A, B ∈ R : A+B ∈ R e AB ∈ R. La prima è ovvia, la seconda si ottiene applicando la definizione di prodotto riga per colonna. L’unità di R è I = (a_{ij}) : a_{ii} = 1 e a_{ij} = 0 per i ≠ j.

3. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{n} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i ≤ j}. Dimostrare che R è un sottoanello di M_{n} (ℝ). R è unitario ?

Soluzione 1.3. Bisogna verificare che ∀A, B ∈ R : A+B ∈ R e AB ∈ R. La prima è ovvia, la seconda si ottiene applicando la definizione di prodotto riga per colonna. R non è unitario.

4. Sia R = {A = (a_{ij}) ∈ M_{3} (ℝ) : a_{ij} = 0 se i = 2 o j = 2}. Dimostrare che R è un sottoanello di M_{3} (ℝ). R è unitario ?

Soluzione 1.4. Bisogna verificare che ∀A, B ∈ R : A+B ∈ R e AB ∈ R. La prima è ovvia, la seconda si ottiene applicando la definizione di

prodotto riga per colonna. L’unità di R è I = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

5. Sia R = {a = (a_{n})_{n∈ℕ} : a_{n} ∈ ℚ e a_{n} quasi tutti nulli}. Per ogni a e b ∈ R definiamo

• a + b = (a_{n} + b_{n})_{n∈N}

• a · b = (a_{n}b_{n})_{n∈ℕ}

Verificare se R è un anello.

Soluzione 1.5. Semplice verifica degli assiomi.

6. Un elemento a di un anello A si dice nilpotente se a^{k} = 0 per qualche k ≥ 1.

Mostrare che, se n = p_{1}^{k_{1}} … p_{s}^{k_{s}} è la fattorizzazione di n in numeri primi, allora \overline{a} ∈ ℤ_{n} è nilpotente se e soltanto se p_{i} divide a per i = 1, …, s.

Da questo fatto, dedurre che, se p è primo, ogni elemento di ℤ_{p^{k}} è invertibile oppure nilpotente.

Soluzione 1.6. Osserviamo che per ogni i \overline{p_{i}} è uno zero divisore di ℤ_{n}. Supponiamo che p_{i}|a per i = 1 … s allora

a = p_{1}^{h_{1}} … p_{s}^{h_{s}}

Allora

a^{k_{1}...k_{n}} = 0

Quindi a è nilpotente. Sia a ∈ ℤ_{p^{k}} con p primo, allora

gcd(a, p) = 1 o p|a

Quindi a è invertibile o nilpotente.

7. Sia S un insieme non vuoto e sia P (S) l’insieme delle parti di S. Definiamo in P (S) le seguenti operazioni:

X + Y = (X ∪ Y) \ (X ∩ Y)(differenza simmetrica); X Y = (X ∩ Y).

Mostrare che:

(a) (P (S), +, ·) è un anello commutativo unitario (dare per scontato che le operazioni sono associative e che vale la proprietà distributiva);

(b) Ogni elemento di P (S) diverso da 0 e 1 è uno zerodivisore;

(c) Ogni elemento di P (S) coincide con il suo opposto ed è idempotente;

(d) (P (S), +, ·) è un campo se soltanto se S ha un solo elemento; (e) L’insieme P_{fin}(S) dei sottoinsiemi finiti di S è un ideale di P (S);

(f) Per ogni sottoinsieme proprio X di S, P (X) è un sottoanello di P (S). Inoltre P (X) è unitario, ma la sua unità è differente da quella di P (S);

(g) Per ogni sottoinsieme X di S, P (X) è un ideale principale di P (S). Soluzione 1.7.

(a) Semplice verifica

(b) Sia X ≠ 0 allora X (S \ X) = 0

(c) Segue dalla definizione delle operazioni

(d) Se S ha un solo elemento allora P (S) = {0, 1} è un campo. Se S ha più di due elementi allora per il punto b P (S) non può esere un campo perchè ha zero divisori.

(e) Semplice verifica

(f) Semplice verifica. Inoltre l’unità di P (X) è X mentre quella di P (S) è S

(g) Semplice verifica

8. In ℤ_{28} il sottoannello ⟨\overline{4}⟩ è un campo.

Soluzione 1.8.

⟨\overline{4}⟩ = \{\overline{0}, \overline{4}, \overline{8}, \overline{12}, \overline{16}, \overline{20}, \overline{24}\}

Verifichiamo che è un campo. Osserviamo che l’unità è \overline{8}. Il resto delle proprietà sono una semplice verifica.

2 Divisioni in ℚ [x] e ℤ [x]

1. Consideriamo le seguenti coppie di polinomi in ℚ [x] • f = 3x + 2 e g = x^{3} + 3x + 2

• f = x + 1 e g = x^{2} + 5x + 1

• f = x^{2} + 2x + 3 e x^{3} + 3x^{2} + 3x + 8

• f = 6x + 5 e g = x^{3} + 4x^{2} + 5x + 1 Calcolare il quoziente e il resto della divisione di g rispetto a f. Soluzione 2.1.

• q(x) = \frac{1}{3}x^{2} − \frac{2}{9}x + \frac{31}{27} e r(x) = \frac{19}{27}

• q(x) = x + 4 e r(x) = −3 • q(x) = 1 + x e r(x) = −2x + 5

• q(x) = \frac{1}{6}x^{2} + \frac{19}{36}x + \frac{85}{216} e r(x) = −\frac{209}{216}

2. Consideriamo le seguenti coppie di polinomi in ℤ [x] • f = x + 2 e g = x^{3} + 3x + 2

• f = x + 1 e g = x^{2} + 5x + 2

• f = x^{2} + x + 1 e 4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1

• f = 2x + 4 e g = 2x^{3} + 3x^{2} + 5x + 1

• f = 2x + 3 e g = x^{2} + 2x − 1 Calcolare il quoziente e il resto della divisione di g rispetto a f. Soluzione 2.2.

• q(x) = x^{2} − 2x + 7 e r(x) = −12

• q(x) = x + 4 e r(x) = −2

• q(x) = 4x − 1 e r(x) = −x + 2

• q(x) = x^{2} − \frac{1}{2}x + \frac{7}{2} e r(x) = −13 non è divisibile in ℤ[x]

• q(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} e r(x) = −\frac{7}{4} non è divisibile in ℤ[x]

3. Calcolare il massimo comun divisore fra le seguenti coppie di polinomi

in ℚ [x] • x^{3} + 3x + 2 e x^{4} + x^{2} + 1

• x^{2} + 3x + 2 e x + 1

• 5x^{3} + 4x^{2} + 3x + 3 e 2x^{2} + 2x + 2

• 5x^{2} + 3 e x^{2} + x + 1 Soluzione 2.3. Il massimo comun divisore è

• 1

• x + 1

• 1

• 1

3 Divisione in ℤ_{p} [x] con p primo

1. Consideriamo le seguenti coppie di polinomi in ℤ_{5} [x] • f = x + 2 e g = x^{3} + 3x + 2

• f = x + 1 e g = x^{2} + 5x + 2 • f = x^{2} + x + 1 e 4x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1

• f = 2x + 4 e g = 2x^{3} + 3x^{2} + 5x + 1

• f = 2x + 3 e g = x^{2} + 2x − 1 Calcolare il quoziente e il resto della divisione di g rispetto a f. Soluzione 3.1.

• q(x) = x^{2} + 3x + 2 e r(x) = 3

• q(x) = x + 4 e r(x) = 3

• q(x) = 4x + 4 e r(x) = 4x + 2

• q(x) = x^{2} + 2x + 1 e r(x) = 2 non è divisibile in ℤ[x]

• q(x) = 3x + 4 e r(x) = 4 non è divisibile in ℤ[x]

2. Calcolare il massimo comun divisore fra le seguenti coppie di polinomi

in ℤ_{5} [x] • x^{3} + 3x + 2 e x^{4} + x^{2} + 1

• x^{2} + 3x + 2 e x + 1

• 5x^{3} + 4x^{2} + 3x + 3 e 2x^{2} + 2x + 2

• 5x^{2} + 3 e x^{2} + x + 1 Soluzione 3.2. Il massimo comun divisore è

• 1

• x + 1

• 1

• 1

4 Relazioni di Equivalenza

1. Consideriamo A = ℚ [x], definiamo la se seguente relazione, per ogni

f e g ∈ A

f ≈ g ⇔ x|f − g

Dimostrare che ≈ è una relazione di equivalenza, descrivere le classi di equivalenza. Soluzione 4.1. ≈ è una relazione di equivalenza se verifica le seguenti proprietà

• Riflessiva: f ≈ f

• Simmetrica: f ≈ g ⇒ g ≈ f

• Transitiva: f ≈ g e g ≈ h ⇒ f ≈ h

Verifichiamole

• Riflessiva: x|0 = f − f dunque f ≈ f

• Simmetrica: f ≈ g allora x|f − g da cui f − g = x · h per qualche h ∈ ℚ[x]. Allora

g − f = −(f − g) = −x · h = x · (−h) ⇒ x|g − f

• Transitiva: f ≈ g e g ≈ h quindi x|f − g e x|g − h, ma f − h = (f − g) + (g − h) dunque x|f − h.

2. Consideriamo A = ℝ [x], definiamo la se seguente relazione, per ogni

f e g ∈ A

f ≈ g ⇔ x^{2} + 1|f − g

Dimostrare che ≈ è una relazione di equivalenza, descrivere le classi di equivalenza.

Soluzione 4.2. Si verifica facilmente che ≈ è una relazione di equivalenza. Descriviamo le classi di equivalenza. Sia

f(x) = q(x)(x^{2} + 1) + r(x)
g(x) = q′(x)(x^{2} + 1) + r′(x)

Allora f ≈ g ⇔ r(x) = r′(x), notiamo che r(x) ha grado al più 1, perché è il resto della divisione per x^{2} + 1.

\overline{f} = \{a + bx + (x^{2} + 1)h(x): h(x) ∈ ℝ[x]\} = \overline{a + bx}

Quindi possiamo definire γ : ℝ[x]/ ≈→ ℂ γ(\overline{a + bx}) = a + bi. Si verifica facilmente che γ è un isomorfismo di insiemi. Si noti che ≈ è compatibile con la somma e il prodotto di ℝ[x] quindi γ è un omomorfismo.

5 Anello dei polinomi

1. Sia A un anello. Mostrare che il polinomio u+aX ∈ A[X] è invertibile se e soltanto se u è invertibile ed a è nilpotente. Determinare poi esplicitamente l’inverso del polinomio \overline{5}+\overline{6}X ∈ ℤ_{12}[X]

Soluzione 5.1. Supponiamo che u + aX sia invertibile, allora esiste un polinomio non nullo di grado n p(X) = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ A[X] tale che (u + aX)p(X) = 1, da cui

ua_{0} = 1
ua_{i} + aa_{i−1} = 0 per ogni i = 1 … n
aa_{n} = 0

Da cui a_{i} = (−1)^{i}u^{−(i+1)}a^{i} per i = 1 … n. Quindi u è invertibile e a^{n+1} = 0. Viceversa se u è invertibile e a è nilpotente tale che a^{n+1} = 0 allora

p(X) = u^{−1} + ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i}u^{−(i+1)}a^{i}X^{i}

è l’inverso. Inoltre l’inverso di \overline{5} + \overline{6}X è \overline{5} + \overline{6}X