Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Prima prova di valutazione intermedia

3 novembre 2004

Soluzione 1. Sia G l’insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi in ℤ_{8} della

forma:

A = ( \begin{matrix}a & 0 \\ c & d \end{matrix} ) , con ad = 1.

(a) Mostrare che G è un gruppo commutativo rispetto alla moltiplicazione righe per colonne;

(b) Mostrare che l’applicazione

φ : G ⟶ U(ℤ_{8}) definita da A → a

è un omomorfismo di gruppi;

(c) Determinare Ker(φ) e Im(φ) e definire l’isomorfismo canonico

G/Ker(φ) ⟶ Im(φ);

(d) Determinare φ^{−1}(¯5).

Soluzione

Osserviamo che la relazione ad = 1 implica che

a ∈ U (ℤ_{8}) = {1, 3, 5, 7} ≅ V_{4}

Dunque a = d.

(a) Verifichiamo che G è un sottogruppo di GL_{2}(ℤ_{8}). Data A ∈ G

A^{−1} = ( \begin{matrix}a & 0 \\ −c & a \end{matrix} ) ∈ G

e per ogni A e B ∈ G

AB^{−1} = ( \begin{matrix}a & 0 \\ c & a \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b & 0 \\ −c′ & b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ab & 0 \\ bc − ac′ & ab \end{matrix} ) ∈ G

Verifichiamo la commutatività.

AB = ( \begin{matrix}a & 0 \\ c & a \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b & 0 \\ c′ & b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ab & 0 \\ bc + ac′ & ab \end{matrix} )

BA = ( \begin{matrix}b & 0 \\ c′ & b \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & 0 \\ c & b \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}ab & 0 \\ bc + ac′ & ab \end{matrix} )

da cui G è commutativo.

(b) Siano A e B ∈ G. Verifichiamo che φ(AB) = φ(A)φ(B).

φ(A) = a
φ(B) = b
φ(AB) = φ (( \begin{matrix}a & 0 \\ c & a \end{matrix} ) ( \begin{matrix}b & 0 \\ c′ & b \end{matrix} ))
= φ (( \begin{matrix}ab & 0 \\ bc + ac′ & ab \end{matrix} ))
= ab

Dunque

φ(AB) = ab = φ(A)φ(B)

(c)

ker φ = \{A ∈ G : φ(A) = 1\} = \{( \begin{matrix}1 & 0 \\ c & 1 \end{matrix} ) : c ∈ ℤ_{8}\}

Imφ = {a ∈ ℤ_{8} : ∃A ∈ G e φ(A) = a} = {1, 3, 5, 7} = U (ℤ_{8}) Ricordiamo che ker φ un sottogruppo normale. Allora

G/ ker φ = \{\overline{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} )} : a ∈ U (ℤ_{8})\}

Dunque l’omomorfismo canonico è definito da

ϕ : G/ ker φ ⟶ U (ℤ_{8})

tale che

ϕ (\overline{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a \end{matrix} )}) = a

(d)

φ^{−1}(5) = \{( \begin{matrix}5 & 0 \\ c & 5 \end{matrix} ) : c ∈ ℤ_{8}\}

2. Sia C_{12} il gruppo delle radici complesse dodicesime dell’unità. (a) Determinare il gruppo Aut(C_{12}) degli automorfismi di C_{12}:

(b) Stabilire se Aut(C_{12}) è un gruppo ciclico. Soluzione

(a) Osserviamo che

C_{12} = {z ∈ ℂ : z^{12} = 1}
= \{e^{\frac{2kπi}{12}} con k = 0, …, 11\}

Ricordiamo che i generatori di C_{12} sono le radici primitive dell’unità, cioé z = e^{\frac{2kπi}{12}} con k = 1, 5, 7, 11. Poniamo z_{0} = e^{\frac{πi}{6}} , allora

C_{12} = {z_{0}^{i} : i = 0 … 11}

Dunque abbiamo quattro possibili automorfismi

φ_{i} : C_{12} ⟶ C_{12}

definiti da

φ_{i}(z_{0}) = z_{0}^{i}

per i = 1, 5, 7, 11. Quindi

Aut(C_{12}) = {φ_{1} = id, φ_{5}, φ_{7}, φ_{11}} .

(b) Osserviamo che φ_{5}^{2} = φ_{7}^{2} = φ_{11}^{2} = φ_{1}, quindi Aut(C_{12}) ≅ V_{4} non è ciclico.

3. Determinare le possibili strutture cicliche e gli ordini degli elementi del gruppo alterno di grado sette A_{7}. Soluzione Ricordiamo che A_{7} sono le permutazioni pari. Le possibili strutture cicliche sono

• (-)

• (- - -)

• (- - - - -)

• (- - - - - - -)

• (- -)(- -)

• (- -)(- - - -)

• (- - -)(- - -)

• (- - -)(- -)(- -) Inoltre

• (-) ha ordine 1

• (- - -) ha ordine 3

• (- - - - -) ha ordine 5

• (- - - - - - -) ha ordine 7

• (- -)(- -) ha ordine 2

• (- -)(- - - -) ha ordine 4

• (- - -)(- - -) ha ordine 3

• (- - -)(- -)(- -) ha ordine 6 4. Nel prodotto cartesiano ℤ_{2} × ℤ_{5} si definisca l’operazione

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Mostrare che rispetto a questa operazione ℤ_{2} × ℤ_{5} è un gruppo ciclico e determinate tutti i suoi generatori.

Soluzione

Mostriamo che ℤ_{2} ×ℤ_{5} è un gruppo. Siano a, c e e ∈ ℤ_{2} e b, d e f ∈ ℤ_{5} allora

• Chiusura

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∈ ℤ_{2} × ℤ_{5}

• Associativià

((a, b)+(c, d))+(e, f) = (a+c+e, b+d+f) = (a, b)+((c, d)+(e, f))

• Esistenza dell’elemento neutro

(a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b)

• Inverso

−(a, b) = (−a, −b)

Inoltre è facile vedere che ℤ_{2} × ℤ_{5} è generato da (1, b) con b ∈ ℤ_{5} non zero 5. Sia G un gruppo moltiplicativo e N un sottogruppo normale di G di

indice m. Mostrare che, per ogni g ∈ G, g^{m} ∈ N.

Soluzione

Poiché [G : N] = m abbiamo #(G/N) = m. Per ogni g ∈ G consideriamo la sua classe gN ∈ G/N allora

g^{m}N = (gN)^{m} = eN

Quidi g^{m} ∈ N