Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Prima prova di valutazione intermedia 3 novembre 2004

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere il maggior numero di esercizi nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

Avvertenza: Risolvere completamente ed in modo corretto l’Esercizio n. 1 è condizione sufficiente per essere ammessi alla seconda prova intermedia.

1. Sia G l’insieme delle matrici quadrate di ordine 2 a elementi in ℤ_{8} della forma:

A = ( \begin{matrix}a & 0 \\ c & d \end{matrix} ) , con ad = 1.

(a) Mostrare che G è un gruppo commutativo rispetto alla moltiplicazione righe per colonne;

(b) Mostrare che l’applicazione

φ : G ⟶ U(ℤ_{8}) definita da A → a

è un omomorfismo di gruppi;

(c) Determinare Ker(φ) e Im(φ) e definire l’isomorfismo canonico

G/Ker(φ) ⟶ Im(φ);

(d) Determinare φ^{−1}(¯5).

2. Sia C_{12} il gruppo delle radici complesse dodicesime dell’unità. (a) Determinare il gruppo Aut(C_{12}) degli automorfismi di C_{12};

(b) Stabilire se Aut(C_{12}) è un gruppo ciclico.

3. Determinare le possibili strutture cicliche e gli ordini degli elementi del gruppo alterno di grado sette A_{7}.

4. Nel prodotto cartesiano ℤ_{2} × ℤ_{5} si definisca l’operazione

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d).

Mostrare che rispetto a questa operazione ℤ_{2} × ℤ_{5} è un gruppo ciclico e determinate tutti i suoi generatori.

5. Sia G un gruppo moltiplicativo e N un sottogruppo normale di G di indice m. Mostrare che, per ogni g ∈ G, g^{m} ∈ N.