Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 26 Novembre 2004

1 Anelli e Ideali

1. Dati due anelli R e R′, introdurre una struttura di anello nel prodotto cartesiano R × R′.

2. Sia R un anello tale che a^{2} = a ∀a ∈ R; dimostrare che R è commutativo.

3. Siano I e J due ideali di un anello R tali che I ∩ J = {0}; dimostrare che, ∀h ∈ I e ∀k ∈ J, risulta hk = 0.

4. Si studi la relazione di inclusione nell’insieme degli ideali degli anelli ℤ_{101} e ℤ_{90}; dire quali fra gli ideali sono massimali e quali minimali. Determinare i quozienti relativi agli ideali massimali e minimali.

5. Se F è un campo dimostrare che i suoi soli ideali sono quelli banali.

2 Ideali

1. Sia R un anello, I un ideale di R e 1 ∈ I allora I = R

2. Sia R un anello commutativo e a ∈ R

(a) dimostrare che aR = {ar : r ∈ R} è un ideale bilatero di R.

(b) dimostrare con un esempio che ciò può non essere vero se R non è commutativo.

3. Dimostrare che tutti gli ideali di ℤ sono della forma nℤ.

4. Dimostrare che nℤ è un ideale primo se e solo se n è primo o n = 0.

5. Sia I un ideale di ℤ non nullo. Dimostrare che I è primo ⇔ I è massimale.

6. Teorema Cinese dei resti Siano I_{1}, ⋯, I_{n} ideali di R, anello commutativo con identità, tali che I_{i} + I_{j} = R per ogni i ≠ j. Siano x_{1}, ⋯, x_{n} ∈ R, allora esiste x ∈ R tale che x ≡ x_{i} mod I_{i}. Verificare che per R = ℤ si ottiene l’usuale teorema cinese dei resti.

7. Consideriamo (a) ℤ_{30} e R = \{\overline{0}, \overline{6}, \overline{12}, \overline{18}, \overline{24}\} ⊂ ℤ_{30}.

(b) ℤ_{20} e R = \{\overline{0}, \overline{5}, \overline{10}, \overline{15}\} ⊂ ℤ_{20}.

Stabilire, in entrambi i casi, se R è un sottoanello, ha divisori dello zero, oppure è un campo. Trovare un anello ad esso isomorfo.

3 Anelli e Anelli di polinomi

1. Dimostrare che, se R un anello commutativo con identità, anche R [x] lo è.

2. Dimostrare che R [x_{1}, ⋯, x_{n}] = R [x_{i_{1}}, ⋯, x_{i_{n}}] con (i_{1}, ⋯, i_{n}) una permutazione di (1, ⋯, n)

3. Dimostrare che l’ideale generato da x in ℤ [x] non è massimale; è primo ?

4. Dimostrare che l’ideale generato da x in ℝ [x] è massimale.

5. Trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché l’ideale generato da x sia massimale in R [x].

6. Trovare una condizione necessaria e sufficiente affinché l’ideale generato da x sia primo in R [x].

4 Omomorfismi e Quozienti

1. Consideriamo l’applicazione

π_{0} : ℂ [x] → ℂ

definita da

π_{0}(f(x)) = f(0).

Verificare che π_{0} è un omomorfismo di anelli per ogni a ∈ ℂ. Trovare il nucleo e l’immagine.

2. Consideriamo l’applicazione

π_{1} : ℂ [x] → ℂ

definita da

π_{1}(f(x)) = f(1)

Verificare che π_{1} è un omomorfismo di anelli per ogni a ∈ ℂ. Trovare il nucleo, l’immagine.

3. Per ogni a ∈ ℂ consideriamo l’applicazione

π_{a} : ℂ [x] → ℂ

definita da

π_{a}(f(x)) = f(a)

Verificare che π_{a} è un omomorfismo di anelli per ogni a ∈ ℂ. Trovare il nucleo, l’immagine.

4. Sia a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0} ∈ ℤ[x], consideriamo l’applicazione

p : ℤ[x] → ℤ[i]

definita da

p(a_{n}x^{n} + ⋯ + a_{0}) = a_{n}(i)^{n} + ⋯ a_{0}

Stabilire che p è un omomorfismo di anelli. Trovare il nucleo e l’immagine.

5. Sia R un anello con identità 1 e ϕ un omomorfismo di anelli da R a R’ surriettivo, dimostrare che ϕ(1) è l’unità di R’.

6. Consideriamo I =< x > ideale di ℚ[x]. Determinare il quoziente ℚ[x]/I.

7. Consideriamo I =< x^{2} + 1 > ideale di ℝ[x]. Determinare il quoziente ℝ[x]/I.