Universit degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 8 ottobre 2004

1 Sottogruppi

1. Quali sono le condizioni perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo?.

2. Se H e K sono sottogruppi di G allora HK è un sottogruppo di G se e solo se HK = KH.

3. Siano H e K due sottogruppi finiti di G, sia |HK| la cardinalità di HK come insieme allora

|HK| = \frac{Ord(H)Ord(K)}{Ord(H ⋂ K)}.  (1)

4. Sia H un sottogruppo di G, sia aHa^{−1} = {aha^{−1} : h ∈ H}, dimostrare che aHa^{−1} è un sottogruppo di G. Se G è finito calcolare Ord(aHa^{−1}).

5. Scrivere esplicitamente le classi laterali destre di H in G dove:

(a) G = (a) è un gruppo ciclico di ordine 10 e H = (a^{2})

(b) G come sopra e H = (a^{5}).

6. Sia a ∈ G, definiamo C(a) = {x ∈ G : xa = ax}. Dimostrare che C(a) è un sottogruppo di G. C(a) si chiama il centralizzante di a in G.

7. Sia H un sottogruppo di G, definiamo C(H) = {x ∈ G : xh = hx ∀h ∈ H}. Dimostrare che C(H) è un sottogruppo di G. C(H) si chiama il centralizzante di H in G.

8. Sia H un sottogruppo di G, definiamo N(H) = {x ∈ G : xHx^{−1} = H}. Dimostrare che N(H) è un sottogruppo di G e che N(H) ⊇ H. N(H) si chiama il normalizzante di H in G.

2 Sottogruppi normali.

1. Lemma della farfalla Siano U e V due sottogruppi di un gruppo G, siano H e K sottogruppi normali di U e V, rispettivamente. Allora

(a) H(U ∩ K) è normale in H(U ∩ V)

(b) (H ∩ V)K è normale in (U ∩ V)K e i gruppi quozienti sono isomorfi, i.e.

H(U ∩ V)/H(U ∩ K) ≅ (U ∩ V)K/(H ∩ V)K.

2. Sottogruppo derivato Sia G un gruppo. Consideriamo U = {xyx^{−1}y^{−1} : x, y ∈ G}, il sottogruppo generato da U si chiama sottogruppo dei commutatori, o derivato, e si denota con G′. Dimostrare che:

(a) G′ è normale in G

(b) G/G′ è commutativo

(c) Se G/N è commutativo allora N ⊃ G′

(d) Se H è un sottogruppo di G e H ⊃ G′, allora H è normale in G.

3 Omomorfismi e sottogruppi normali.

1. Sia G un gruppo abeliano finito di ordine m. Sia n primo con m. Dimostrare che ogni g ∈ G si può scrivere come g = x^{n} con x ∈ G, i.e. esiste x ∈ G tale che x^{n} = g.

2. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ_{18} e ℤ_{12}

3. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ_{7} e ℤ_{13}

4. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ_{14} e ℤ_{6}

5. Trovare tutti gli omomorfismi fra ℤ_{42} e ℤ_{21}

6. Sia f_{n} : (ℤ, +) ↦ (ℤ, +) definita da f_{n}(x) = nx. Verificare che f_{n} è un omomorfismo, trovare il nucleo e l’immagine di f_{n}.

7. Sia f_{n} : (ℤ, +) ↦ (ℤ_{m}, +) definita da f_{n}(x) = nx mod m.

(a) Per quali n, f_{n} è un omomorfismo di gruppi.

(b) Per tali n trovare il nucleo e l’immagine di f_{n}.

4 Gruppo Simmetrico.

1. Calcolare i seguenti prodotti:

• (123)(25)(367)

• (45)(2378)(4765)(78)

• (345)(1234)(34)

• (123)(67)(45)

2. Determinare i sottogruppi normali di S_{3} e S_{4}.

3. Determinare il centro di S_{3} e S_{4}.

4. Determinare il centralizzante di:

(a) ⟨id, (12)⟩ in S_{3}

(b) ⟨id, (12)⟩ in S_{4}

(c) ⟨id, (12), (123)⟩ in S_{4}.

5. Determinare il normalizzante di:

(a) ⟨id, (12)⟩ in S_{3}

(b) ⟨id, (12)⟩ in S_{4}

(c) ⟨id, (12), (123)⟩ in S_{4}.

6. ⋆^{1} Consideriamo una scatola quadrata piatta riempita con 16 quadrati piatti di metallo, numerati come nella figura seguente:

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15

L’ultimo quadrato viene rimosso, rendendo possibile lo spostamento degli altri quadrati facendoli scivolare. Si consideri una sequenza qualsiasi di spostamenti che termini con l’angolo destro inferiore libero. Dimostrare che le permutazioni possibili per tali spostamenti sono solamente le permutazioni pari in A_{15}. Esempio:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⟶ 3 6 7 8 9 2 1 4 5 10 13 14 12 11 15

è una configurazione finale ammissibile.

5 Matrici.

1. Consideriamo l’applicazione determinante:

det : (Gl_{2}(ℂ), ∗) ↦ (ℂ^{∗}, ∗)

provare che è un omomorfismo di gruppi. Determinare il nucleo, l’immagine e scrivere la relazione di equivalenza generata. Il nucleo si chiama Sl_{2}(ℂ).

1Gli esercizi con ⋆ non avranno soluzione

2. Consideriamo l’applicazione traccia:

tr : (M_{2}(ℂ), +) ↦ (ℂ, +)

provare che è un omomorfismo di gruppi. Determinare il nucleo, l’immagine e scrivere la relazione di equivalenza generata.

6 Numeri Complessi e radici dell’unità

1. Sia H il gruppo delle radici cubiche dell’unità, dimostrare che

ℂ^{∗}/H ≅ ℂ^{∗}.

2. Verificare che l’applicazione ϕ : ℂ^{∗} → ℂ^{∗}, tale che ϕ(z) = z^{n}, è un omomorfismo e determinare il nucleo e l’immagine.