Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 24 Settembre 2004

1 Operazioni

1. Dimostrare che qualunque sia l’insieme S, le applicazioni

∩ : (X, Y) ∈ P (S) × P (S) → X ∩ Y ∈ P (S)
∪ : (X, Y) ∈ P (S) × P (S) → X ∪ Y ∈ P (S)

sono delle operazioni in P (S) associative, commutative. Inoltre verificare se ∩ è distributiva rispetto a ∪, o/e viceversa.

2. Determinare quali dei sistemi (G, ∗) qui descritti sono gruppi. In caso

negativo dire quali degli assiomi di gruppo non sono verificati. • G = ℤ con a ∗ b = a − b

• G = ℕ con a ∗ b = ab

• G = insieme dei numeri razionali con denominatore dispari, a∗b = a + b

• G = a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} con – a_{i} ∗ a_{j} = a_{i+j} se i + j < 7

– a_{i} ∗ a_{j} = a_{i+j−7} se i + j ≥ 7.

3. Sia M_{2} (ℝ) l’insieme delle matrici 2 × 2 a valori reali con le seguenti operazioni: dati a = (a_{ij}) e b = (b_{ij}) si ha

(a) a + b = (a_{ij} + b_{ij})

(b) a · b = (a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j})

(c) a ⋆ b = a · b − b · a Verificare se

(a) (M_{2} (ℝ) , +) è un gruppo.

(b) (M_{2} (ℝ) , ·) è un gruppo.

(c) (M_{2} (ℝ) , ⋆) è un gruppo.

(d) (M_{2} (ℝ) , +, ·) è un anello.

(e) (M_{2} (ℝ) , +, ⋆) è un anello.

(f) (M_{2} (ℝ) , ⋆, ·) è un anello.

2 Gruppi

1. Sia G un insieme non vuoto, chiuso rispetto a un prodotto che sia associativo e che soddisfi inoltre le seguenti condizioni:

(a) Esiste un elemento e tale che a ∗ e = a per ogni a ∈ G

(b) Dato a ∈ G esiste un elemento y(a) ∈ G tale che a ∗ y(a) = e Dimostrare allora che G è un gruppo rispetto a questo prodotto.

2. Supponiamo che G sia un insieme finito chiuso rispetto ad un prodotto associativo, e che valgano entrambe le leggi di cancellazione. Dimostrare che G è un gruppo.

3. Usando il risultato dell’esercizio 2 dimostrare che:

(a) gli interi modulo p primo, diversi da 0, sono un gruppo rispetto alla moltiplicazione modulo p

(b) gli interi coprimi con n sono un gruppo rispetto alla moltiplica-

zione modulo n.

4. Calcolare tutti i sottogruppi di ℤ_{3}, ℤ_{4},ℤ_{15} e ℤ_{21}.

5. Trovare l’intersezione dei sottogruppi 3ℤ e 7ℤ in (ℤ, +).

6. Consideriamo ℤ_{n} con le usuali operazioni, determinare se i seguenti elementi sono zero divisori o invertibili

(a) Per n = 7, \overline{2}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}

(b) Per n = 13, \overline{4}, \overline{7}, \overline{9}, \overline{12}

(c) Per n = 15, \overline{3}, \overline{4}, \overline{9}, \overline{13}

(d) Per n = 21, \overline{4}, \overline{7}, \overline{12}, \overline{15}

(e) Per n = 51, \overline{2}, \overline{12}, \overline{17}, \overline{31}

7. Trovare il gruppo delle unità di ℤ_{3}, ℤ_{4}, ℤ_{7}, ℤ_{15}, ℤ_{27}, ℤ_{51}.

3 Gruppo Simmetrico

1. Calcolare tutti i sottogruppi di S_{3}.

2. Determinare le orbite e i cicli delle seguenti permutazioni:

(a) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 6 & 7 & 9 & 8 \end{matrix} )

(b) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ).

3. Scrivere le permutazioni del problema 2 come prodotto di cicli disgiunti.

4. Dimostrare che il più piccolo sottogruppo di S_{n} che contiene (1 2) e (1 2 ... n) è S_{n}.

5. Determinare tutti i sottogruppi di Klein di S_{3} e S_{4}.

6. In S_{5} trovare una permutazione per ogni struttura ciclica seguente: (a) ( - )

(b) ( - - )( - - )

(c) ( - - )

(d) ( - - )( - - - )

(e) ( - - - )

(f) ( - - - - )

(g) ( - - - - - )

7. Trovare un elemento di ordine 2, 3 e 4 in S_{4}.

4 Numeri complessi

1. Notazione Trigonometrica: Dato un numero complesso z = a + ib,

dimostrare che esistono ρ ∈ ℝ^{+} e θ ∈ [0, 2π) tali che

z = ρ (cos(θ) + i sin(θ))

Inoltre se z ≠ 0, ρ e θ sono unici.

2. Notazione Esponenziale: Dato θ ∈ ℝ definiamo

e^{iθ} := cos θ + i sin θ

Dimostrare che per ogni α e β

(a) e^{iα} · e^{iβ} = e^{iα+β}

(b) e^{iα+2kπ} = e^{iα} Inoltre ogni numero complesso z si pu scrivere nella forma

z = ρe^{iθ}

con ρ ∈ ℝ^{+} e θ ∈ [0, 2π)

3. Radici dell’unità z ∈ ℂ si dice radice n-esima dell’unità se esiste n ∈ ℕ

tale che:

z^{n} − 1 = 0

Fissato n dimostrare che:

(a) Ogni radice n-esima dell’unità è della forma z = e^{i \frac{2kπ}{n}} per k = 0, 1 … n − 1

(b) L’insieme delle radici n-esime dell’unità forma un gruppo di ordine n.

Una radice n-esima dell’unità si dice primitiva se genera il gruppo delle radici n-esime dell’unità. Dimostrare che z = e^{i \frac{2kπ}{n}} è primitiva se e solamente se mcd (k, n) = 1.