Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005 AL2 - Algebra 2 - gruppi, anelli e campi Prova di Esame - Appello B 15 febbraio 2005

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere gli esercizi nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. Sia C_{21} il gruppo delle radici complesse 21-esime dell’unità. (a) Verificare che C_{21} è un gruppo ciclico.

(b) Determinare i suoi generatori.

(c) Determinare i suoi sottogruppi.

2. Sia

Gl_{2} (ℂ) = \{A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a, b, c, d ∈ ℂ, det A ≠ 0\} .

(a) Verificare che l’applicazione

ϕ : (GL_{2}(ℂ), ·) → (ℂ^{∗}, ·) definita da ϕ(A) = det A

è un omomorfismo di gruppi.

(b) Applicare il teorema di omomorfismo.

3. Sia p ≥ 2 primo e si consideri l’anello

R = M_{2} (ℤ_{p}) = \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) : a, b, c, d ∈ ℤ_{p}\}

con l’usuale somma e prodotto fra matrici.

(a) Determinare la cardinalità di R.

(b) Verificare che R non è commutativo.

(c) Determinare il centro di R,

Z(R) = {x ∈ R : xy = yx, per ogni y ∈ R}

e verificare che esso è isomorfo a ℤ_{p}.

(d) Stabilire se

S = Gl_{2} (ℤ_{p}) = \{A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ R : det A ≠ 0\}

è un sottoanello di R.

4. Sia f(X) = X^{4} + 4 ∈ ℚ[X]. (a) Determinare il campo di spezzamento K di f(X) su ℚ.

(b) Stabilire il grado di K su ℚ.

(c) Determinare una base di K su ℚ.