Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2004/2005 AL2 - Gruppi, Anelli e Campi (Prof. S. Gabelli) Tutorato 5

1. Si considerino in ℤ gli ideali I = 280ℤ e J = 60ℤ . Determinare gli ideali I + J , IJ e I ∩ J.

2. Si considerino in ℚ[X] gli ideali I = (f(X)) e J = (g(X)), dove f(X) = 2X^{3} + X^{2} + X − 1 e g(X) = 2X^{3} − 7X^{2} + 7X − 2.

Determinare gli ideali I + J , IJ e I ∩ J.

3. Determinare tutti gli ideali di ℤ_{60} e stabilire quali tra essi sono massimali.

Determinare inoltre la struttura degli anelli quoziente \frac{ℤ_{60}}{¯5ℤ_{60}} e \frac{ℤ_{60}}{¯15ℤ_{60}} .

Quanti elementi hanno? Sono integri? Sono campi?

4. Determinare tutti gli ideali dell’anello prodotto diretto ℤ_{3} × ℤ_{3}. Stabilire inoltre quali di essi sono primi o/e massimali.

5. Sia A := {a/b ∈ ℚ; a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 e 3 non divide b} . Verificare che A è un sottoanello di ℚ e che l’anello quoziente A/3A è un

campo isomorfo a ℤ_{3} .

6. Si consideri l’applicazione φ : ℤ ⟶ ℤ_{3} × ℤ_{7} definita da a → ([a]_{3}, [a]_{7})

Mostrare che φ è un omomorfismo suriettivo di anelli, determinare Ker(φ) ed applicare il Teorema di omomorfismo per gli anelli.

7. Sia A l’anello delle applicazioni da ℝ a ℝ dotato delle operazioni di somma e prodotto definite puntualmente, cioè:

(f + g)(x) := f(x) + g(x) ; (fg)(x) := f(x)g(x) ,

per ogni x in ℝ. Sia inoltre a un numero reale fissato.

Mostrare che l’insieme I_{a} = {f ∈ A : f(a) = 0} è un ideale massimale di A (Suggerimento: Considerare l’omomorfismo A ⟶ ℝ , f → f(a)).

8. Determinare per quali valori di n l’ideale (n, X) è primo o/e massimale in ℤ[X].

9. Sia R := A[X]/I . Stabilire se R è un dominio o un campo in ciascuno dei seguenti casi :

(a) A := ℚ , I := (X^{2} − 1) ; (b) A := ℚ , I := (X^{3} + X + 1) ;

(c) A := ℤ , I := (2X^{2} + 2) ; (d) A := ℤ_{3} , I := (X^{3} + X + ¯1) . Determinare inoltre gli ideali massimali di R .

10. Sia R := ℚ[X]/I, dove I := (X^{2} − 5X + 6). Stabilire se i seguenti elementi di R sono invertibili e, in caso affermativo,

determinarne l’inverso:

(X − 1) + I; (2X − 1) + I; (X − 3) + I.

11. Studiare l’anello quoziente A = \frac{ℤ_{5}[X]}{(X^{2} + aX + ¯1)}, determinando per

quali valori del parametro a ∈ ℤ_{5} esso è un campo.

Determinare inoltre tutti gli ideali di A nel caso in cui a = ¯0 e a = ¯1 .

12. Siano f(X) = X^{3} + aX^{2} + ¯5X + ¯3 ∈ ℤ_{7}[X] e I = (f(X)) . Determinare se l’anello quoziente Z_{7}[X]/I è un campo per i valori a = ¯4

e a = ¯5. In caso affermativo determinare l’inverso della classe del polinomio g(X) = X^{2} + ¯2.

13. Sia f(X) = X^{3} + ¯2X^{2} + ¯4X + ¯2 ∈ ℤ_{5}[X]. Mostrare che l’anello

quoziente A = \frac{ℤ_{5}[X]}{(f(X))} è un campo con un numero finito di elementi e deter-

minare esplicitamente tali elementi (in forma generica).

Determinare inoltre l’inverso della classe di g(X) = X^{3} + ¯3X^{2} + ¯7X + ¯3.

14. Sia a ∈ ℂ e si consideri l’omomorfismo di anelli v_{a} : ℚ[X] ⟶ ℂ, f(X) → f(a) .

Determinare esplicitamente il nucleo e l’immagine di v_{a} quando

a = 3\sqrt{4} , a = 3 + 2i , a = e , a = \sqrt{π + 1}.

In quali casi Im(v_{a}) è un campo?

15. Sia K un campo e sia A = \frac{K[X,Y,Z]}{I}, dove I è l’ideale principale di K[X, Y, Z] generato dal polinomio XY − Z^{2}.

Mostrare che gli elementi X, Y e Z sono primi in K[X, Y, Z], mentre le classi di X, Y e Z sono elementi irriducibili ma non primi in A.

16. Mostrare che l’intersezione di due ideali primi che non siano l’uno contenuto nell’altro non è un ideale primo.