Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2004/2005 AL2 - Gruppi, Anelli e Campi (Prof. S. Gabelli) Tutorato 3

1. Sia D_{6} il gruppo delle isometrie dell’esagono regolare. Mostrare che D_{6} è isomorfo al sottogruppo di S_{6} generato da δ = (26)(35) e ρ = (123456).

2. Mostrare che, per ogni radice primitiva n-sima dell’unità ζ, l’applicazione (ℤ, +) ⟶ (C^{∗}, ·) definita da k ⟶ ζ^{k} è un omomorfismo di gruppi ed applicare il teorema fondamentale di omomorfismo.

3. Siano A un insieme e (G, ·) un gruppo. Indichiamo con F(A, G) l’insieme di tutte le applicazioni f : A ⟶ G.

Mostrare che:

(a) (F(A, G), ·) è un gruppo con l’operazione definita nel seguente modo: se f, g ∈ F(A, G), allora fg : A ⟶ G è l’applicazione definita da

(fg)(x) = f(x)g(x).

(b) Se G è finito, ogni f ∈ F(A, G) ha ordine finito.

4. Se (G, +) e (G′, +) sono gruppi commutativi, allora il sottoinsieme Hom(G, G′) di F(G, G′) costituito da tutti gli omomorfismi di G in G′ è un gruppo commutativo rispetto all’operazione somma puntuale definita da

(ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x)

(ed è un sottogruppo di (F(G, G′), +)).

5. (facoltativo) Si consideri l’applicazione

α : (Hom(ℤ_{n}, ℤ_{m}), +) ⟶ ℤ_{m}; ϕ ⟶ ϕ([1]_{n}).

Mostrare che:

(a) α è un omomorfismo di gruppi iniettivo; (b) Im(α) è il sottogruppo di ℤ_{m} generato da [m/d]_{m}, dove d =

MCD(n, m).

Dedurne che (Hom(ℤ_{n}, ℤ_{m}), +) è un gruppo ciclico di ordine d = MCD(n, m).

6. Determinare esplicitamente tutti gli elementi di (Hom(ℤ_{30}, ℤ_{21}), +) e (Hom(ℤ_{21}, ℤ_{30}), +).

7. Determinare esplicitamente tutti gli elementi di Aut(ℤ_{24}).

8. Un sottogruppo H di un gruppo G si dice caratteristico se α(H) = H, per ogni α ∈ Aut(G).

Mostrare che ogni sottogruppo caratteristico è normale. Mostrare inoltre che un gruppo di Klein non ha sottogruppi caratteristici.

9. Mostrare che il centro di un gruppo è un sottogruppo caratteristico.

10. Sia G un gruppo e H un suo sottogruppo di ordine 2. Mostrare che H è normale in G se e soltanto se H è contenuto nel centro di G.

11. Verificare che α ∘ γ_{g} ∘ α^{−1} = γ_{α(g)}, per ogni γ_{g} ∈ Int(G) e α ∈ Aut(G).

Dedurne che Int(G) è un sottogruppo normale di Aut(G).

12. Mostrare che la relazione di coniugio in un gruppo è una relazione di equivalenza.

Determinare esplicitamente le classi di coniugio di S_{3}, H, D_{4}.

13. Sia G un gruppo e sia x ∈ G un elemento fissato. Mostrare che l’insieme C(x) = {g ∈ G | xg = gx} è un sottogruppo di G (tale gruppo si dice il centralizzante di x in G). Mostrare inoltre che Z(G) = ∩_{x∈G}C(x).

14. Siano G un gruppo, x ∈ G un elemento fissato e C(x) = {g ∈ G | xg = gx} il centralizzante di x. Mostrare che g^{−1}xg = h^{−1}xh se e soltanto se hg^{−1} ∈ C(x).

Dedurne che, se G è finito, il numero dei coniugati di x divide l’ordine di G.

15. Mostrare che in un gruppo due elementi coniugati hanno lo stesso ordine.