Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a.2004/2005 AL2 - Gruppi, Anelli e Campi (Prof. S. Gabelli) Tutorato 2

1. Determinare tutti i sottogruppi ed i gruppi quoziente del gruppo U(ℤ_{15}) delle unitá di ℤ_{15}.

2. Sia φ : G ⟶ G′ un omomorfismo di gruppi. Mostrare che, se G è finito, |G| = |Kerφ||Imφ|.

3. Sia φ : G ⟶ G′ un omomorfismo di gruppi. Mostrare che, se g ∈ G ha ordine finito n, allora l’ordine di φ(g) divide n.

4. Sia A_{4} il gruppo alterno di grado 4 e sia V_{4} = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. Mostrare che V_{4} è normale in A_{4} e costruire tutti i possibili omomorfismi A_{4} ⟶ A_{4}/V_{4}.

5. Stabilire quali tra le seguenti applicazioni sono omomorfismi di gruppi e, nei casi affermativi, applicare il Teorema di Omomorfismo:

φ : ℤ_{5} ⟶ ℤ_{15} ; ā_{5} → ā_{15} ; φ : ℤ_{5} ⟶ ℤ_{15} ; ā_{5} → 3ā_{15} ;

φ : ℤ_{5} ⟶ ℤ_{15} ; ā_{5} → 5ā_{15} ; φ : ℤ_{15} ⟶ ℤ_{5} ; ā_{15} → ā_{5} ;

φ : ℤ_{15} ⟶ ℤ_{5} ; ā_{15} → 3ā_{5} ; φ : ℤ_{15} ⟶ ℤ_{15} ; ā_{15} → 3ā_{15} ;

φ : ℤ_{15} ⟶ ℤ_{15} ; ā_{15} → 5ā_{15} ; φ : ℤ_{15} ⟶ ℤ_{15} ; ā_{15} → 2ā_{15} .

6. Dimostrare che non esiste alcun omomorfismo non banale ℤ_{18} ⟶ ℤ_{5}.

7. Costruire tutti i possibili omomorfismi ℤ_{15} ⟶ ℤ_{3}.

8. Sia G un gruppo ciclico di ordine 4 e sia G′ un gruppo di Klein. Determinare tutti i possibili omomorfismi G ⟶ G′ e G′ ⟶ G.

9. Sia φ : (ℂ^{∗}, ·) ⟶ (ℂ^{∗}, ·) definita da z → \frac{z}{|z|} .

Verificare che φ è un omomorfismo di gruppi ed applicare il Teorema di Omomorfismo. Inoltre interpretare geometricamente tale teorema nel piano di Gauss.

10. Sia φ : (ℝ, +) ⟶ (ℂ^{∗}, ·) definita da r → cos(2rπ) + i sin(2rπ) .

Verificare che φ è un omomorfismo di gruppi ed applicare il Teorema di Omomorfismo.

11. Sia S un sottoinsieme di un gruppo moltiplicativo G e sia H :=< S > l’intersezione di tutti i sottogruppi di G contenenti S.

Mostrare che H è il più piccolo sottogruppo di G contenente S ed è formato da tutti i possibili prodotti finiti del tipo g_{1}^{k_{1}}g_{2}^{k_{2}} ⋯ g_{n}^{k_{n}}, con g_{i} ∈ S e k_{i} ∈ ℤ.

H si dice il sottogruppo di G generato da S e gli elementi di S si dicono i generatori di H. Se S = {g_{1}, …, g_{s}} è finito, si scrive anche H =< g_{1}, …, g_{s} >.

12. Si considerino le seguenti matrici di GL_{2}(ℂ)

1 = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}); i = (\begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix}); j = (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}); j = (\begin{matrix}0 & −i \\ −i & 0 \end{matrix}).

Verificare che valgono le seguenti relazioni:

i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1 ;

ij = k = −ji ; jk = i = −kj ; ki = j = −ik .

Il sottogruppo di GL_{2}(ℂ) generato da i , j , k si chiama il gruppo delle unità dei quaternioni e si indica con H.

(a) Verificare che H = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k};

(b) Esplicitare la tabella moltiplicativa di H;

(c) Verificare che tutti i sottogruppi di H sono normali;

(d) Per ogni sottogruppo N di H, costruire il gruppo quoziente H/N.

13. Sia D il sottogruppo di S_{4} generato da σ = (1234) e τ = (24).

(a) Verificare che σ^{k}τ = τσ^{4−k}, per k = 0, 1, 2, 3 ;

(b) Verificare che D = {(1), σ, σ^{2}, σ^{3}, τ, τσ, τσ^{2}, τσ^{3}};

(c) Esplicitare la tabella moltiplicativa di D; (d) Determinare il centro di D;

(e) Per ogni sottogruppo N di D, costruire il gruppo quoziente D/N;

(f) Costruire un omomorfismo non banale φ : H ⟶ D;

(g) Mostrare che H e D non possono essere isomorfi.

14. Sia A ∈ GL_{2}(ℝ) una matrice ortogonale, cioè tale che A^{−1} = A^{t}.

Mostrare che esiste θ ∈ ℝ , 0 ≤ θ < 2π, tale che:

A = (\begin{matrix}cos(θ) & − sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix}) oppure A = (\begin{matrix}cos(θ) & sin(θ) \\ sin(θ) & − cos(θ) \end{matrix})

Mostrare che, fissato nel piano euclideo reale un riferimento cartesiano, l’applicazione che associa ad ogni isometria piana che fissa l’origine la matrice corrispondente è un isomorfismo tra il gruppo delle isometrie del piano che fissano l’origine ed il gruppo ortogonale di grado 2, O_{2}(ℝ) = {A ∈ GL_{2}(ℝ) ; A^{−1} = A^{t}}. Inoltre, in questo isomorfismo, il gruppo ortogonale speciale di grado 2, SO_{2}(ℝ) = {A ∈ O_{2}(ℝ) ; det(A) = 1}, corrisponde al sottogruppo delle rotazioni attorno all’origine.

Mostrare che SO_{2}(ℝ) è un sottogruppo normale di O_{2}(ℝ) di indice 2.

Dedurne che:

O_{2}(ℝ) = SO_{2}(ℝ) ∪ (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) SO_{2}(ℝ).

Perciò le isometrie del piano che non sono rotazioni si ottengono tutte componendo una rotazione ρ con la riflessione τ rispetto all’asse delle ordinate e di conseguenza sono tutte riflessioni rispetto ad una retta passante per l’origine.

Infine mostrare che, per ogni riflessione σ ed ogni rotazione ρ, esiste una rotazione ρ′ tale che σρ = ρ′σ.