Soluzioni 2-AM4

Laura Di Gregorio

4 ottobre 2004

1. Sia E qualsiasi. Ē \ E ha misura nulla perché è un insieme semplice. Supponiamo per assurdo che E \ A abbia misura nulla. Allora Ē \ A = (Ē \ E) ∪ (E \ A) ha misura nulla. Quindi basta dimostrare la tesi per E chiuso. Sia E chiuso. Allora E \ A è compatto (A è aperto e quindi E \ A è chiuso e limitato). Supponiamo per assurdo che E \ A abbia misura nulla. Allora (per definizione) esistono cubi aperti C_{j} tali che ⋃_{j=1}^{∞} C_{j} ⊃ E \ A e

∑_{j=1}^{∞} μ(C_{j}) < ε := μ(E) − ∑_{j=1}^{∞} μ(K_{j}).

Siccome E \ A è compatto esiste n tale che ⋃_{j=1}^{n} C_{j} ⊃ E \ A (sottoricoprimento finito). Ora B := E \ ⋃_{j=1}^{n} C_{j} è chiuso e quindi compatto. Risulta B ⊂ A. Per la compattezza esiste m tale che ⋃_{j=1}^{m} K_{j} ⊃ B . Sia

D := (⋃_{j=1}^{m} K_{j}) ∪ (⋃_{j=1}^{n} C_{j})

aperto, D ⊃ E (si osservi che D è un insieme semplice). Per come è stato definito D vale che

μ(D) ≤ ∑_{j=1}^{n} μ(C_{j}) + ∑_{j=1}^{m} μ(K_{j}) ,

inoltre μ(E) ≤ μ(D) e mettendo insieme le disuguaglianze si ha

μ(E) ≤ μ(D) ≤ ∑_{j=1}^{∞} μ(C_{j}) + ∑_{j=1}^{∞} μ(K_{j}) < μ(E)

che è assurdo.

2. Per induzione su n. Per n = 1 è vero. Supponiamo che sia vero per n−1. La tesi segue dal fatto che un sottoinsieme di ℝ^{n} è misurabile secondo Peano-Jordan sse la frontiera è un insieme di misura nulla (vedi Proposizione 9.15 del libro Lezioni di Analisi Matematica 2- L. Chierchia) osservando che, se B è un insieme C-normale allora

∂B = {(x, α(x)) : x ∈ Ā} ∪ {(x, β(x)) : x ∈ Ā}
∪ {(x, y) : x ∈ ∂A e α(x) ≤ y ≤ β(x)}

(vedi anche Lemma 9.17).