AM4 -Esercitazione 5 A.A. 2004-2005

Prof. Luigi Chierchia, Dott. Laura Di Gregorio

25 ottobre 2004

Esercizi

1. Dimostrare che la funzione di Cantor è uniformemente Hölderiana sull’insieme di Cantor C con esponente α = (log 2)/(log 3).

2. Dimostrare che, per ogni 0 < α < 1 esiste un insieme di misura nulla C_{α} ⊂ [0, 1] ed una funzione f_{α} ∈ C([0, 1]), [0, 1]), Hölderiana di esponente α, tale che f_{α}(C_{α}) = [0, 1].

3. Calcolare ∫_{0}^{1} f.

4. (i) Sia E_{k} = [0, 1] \ ∂C_{k}. Si calcoli ∫_{E_{k}} f′_{k}. (ii) Sia c ∈ ℝ e sia g(x) = c se x ∈ C e g(x) = 0 se x ∈ C^{c}. Dire se è integrabile secondo Riemann ed in caso affermativo calcolarne l’integrale.