AM4, I Semestre, Crediti 7,5

AM4 Analisi Matematica (4^{0} Modulo) A.A. 2003/2004

Prof. L. Chierchia Teoria dell’integrazione e analisi di Fourier

1. Teoria dell’integrazione Richiami di teoria dell’integrazione secondo Riemann (insiemi elementari; funzioni semplici; integrale di Riemann; additività e positività dell’integrale; le funzioni integrabili secondo Riemann formano un’algebra). Insiemi di misura nulla (definizioni equivalenti tramite cubi/rettangoli aperti/chiusi; immagine di insiemi di misura nulla tramite applicazioni lipschitziane; insiemi di misura nulla compatti). L’insieme ternario di Cantor. La funzione di Cantor. La curva di Peano. Il teorema di Vitali-Lebesgue (caratterizzazione delle funzioni integrabili secondo Riemann e degli insiemi misurabili secondo Peano-Jordan). Dimostrazione del teorema del cambio di variabili in R^{n}. Un insieme aperto in (0, 1) non misurabile secondo Peano-Jordan. Varietà ed elementi di varietà immersi in R^{n} (definizioni, esempi). Integrazione su varietà (partizione dell’unità, il teorema della divergenza in R^{n}, coordinate polari in R^{n}, calcolo del volume e della superficie laterale della sfera euclidea in R^{n}). Integrale di Riemann generalizzato (invasioni, definizione di integrale di Riemann generalizzato e di misura di Peano-Jordan generalizzata, proprietà, esempi e controesempi, la classe delle funzioni R_{p}(E), disuguaglianze di Hölder e Minkowski, approssimazione in norma ∥ · ∥_{p} di funzioni in R_{p}(E) tramite funzioni C_{0}^{∞}).

2. Analisi di Fourier Serie di Fourier (coefficienti di Fourier di funzioni R_{1}(0, 2π); relazione tra decadimento dei coefficienti e regolarità della funzione; disuguaglianza d Bessel per funzioni R_{2}(0, 2π); il lemma di Riemann-Lebesgue; convergenza puntuale e lemma di Dini; calcolo della somma dei reciproci dei quadrati; uguaglianza di Parseval per funzioni C^{1} periodiche e per funzioni R_{2}(0, 2π); convergenza in R_{2}(0, 2π) delle serie di Fourier). Equazione del calore su (0, π) con condizioni al bordo di Dirichlet (metodo della separazioni di variabili, soluzione con le serie di Fourier). Trasformata di Fourier su R (definizione e proprietà della trasformata di Fourier di funzioni R_{1}(R); approssimazione discrete di integrali su R, il teorema di inversione per funzioni C_{0}^{2} e generalizzazioni; relazione tra decadimento di f̂ e regolarità di f; il lemma di Rieamnn-Lebesgue).

A.A. 2003/2004, I Semestre  AM4  Crediti 7,5

Testi consigliati

[1] Chierchia, L., Lezioni di Analisi Matematica 2. Aracne, (1997).

[2] Rudin, W., Principi di analisi matematica. McGraw-Hill, (1991).

Bibliografia supplementare

[3] Giusti E., Analisi Matematica 2. Boringhieri, (1992).

[4] Demidovich B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica. Editori Riuniti, (1993).

Modalità d’esame

- valutazione in itinere (“esoneri”)  SI  NO
- esame finale  scritto  SI  NO
orale  SI  NO
- altre prove di valutazione del profitto  SI  NO

(meglio descritte sotto)

È prevista la possibilità di un colloquio integrativo.