Prova scritta di AM4 del 6/9/2004 - Appello X

1. Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici, etc.

2. Per superare la prova è necessario svolgere l’esercizio 1.

1) (i) Si consideri la seguente curva e se ne disegni la traccia:

φ : I := [−π/2, π/2] → φ(u) = (2 cos u, sen u) ∈ ℝ^{2} .

(ii) Si calcoli l’area della superficie in ℝ^{3} data da

{(x, y) = φ(u) , z = v : u ∈ I , 0 ≤ z ≤ x} .

Provare a farne un disegno.

2) Si trovi la funzione u = u(x, t) che verifichi la seguente equazione differenziale:

u_{t} − u_{xx} + u_{x} = 0 , t > 0 , x ∈ ℝ ,
u(·, t) ∈ R_{1}(ℝ) ∀t ,
u(x, 0) = χ_{(−1,1)}(x) .

3) Si calcoli ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{4}} .

[Suggerimento: si consideri la funzione f(x) = \frac{π^{2}}{12} − \frac{x^{2}}{4} e si usino le serie di Fourier.]

4) (i) Definire lo spazio R_{p}([0, 1]). (ii) Dare un esempio di funzione in R_{1}([0, 1]) che non sia Riemann integrabile. (iii) Dimostrare che R_{2}([0, 1]) è un sottoinsieme proprio di R_{1}([0, 1]).

5) Costruire un sottoinsieme aperto di (0, 1) che non sia misurabile secondo Peano– Jordan.

6) Discutere la funzione di Cantor f e calcolarne l’integrale.