Prova scritta di AM4 del 14/7/2004 - Appello C

1. Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici, etc.

2. Per superare la prova è necessario svolgere l’esercizio 1.

1) Calcolare

∫_{{1 \atop −4}} \frac{dx}{\sqrt{4 − 3x − x^{2}}} .

2) Si trovi la soluzione della seguente equazione differenziale:

u_{t} − u_{xx} = 0 , t > 0 , x ∈ (0, π) ,
u(t, 0) = u(t, π) = 0 , t > 0 ,
u(0, x) = 1 , x ∈ (0, π) .

3) Sia

A := ⋃_{j≥2} (\frac{1}{j} − \frac{1}{10^{j}} , \frac{1}{j} + \frac{1}{10^{j}} ) .

Dire se A è un insieme misurabile secondo Peano–Jordan e dimostrare l’affermazione fatta. Descrivere la frontiera di A.

4) Enunciare e dimostrare il teorema di Vitali–Lebesgue.

5) Enunciare e dimostrare il lemma di Riemann-Lebesgue per funzioni su ℝ.

6) Discutere il teorema del cambio di variabili in ℝ^{2} per trasformazioni lineari.