Prova scritta di AM4 del 13/2/2004 - Appello B

1. Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici, etc.

2. Per superare la prova è necessario ottenere la sufficienza sia nella Parte I che nella Parte II.

Parte I

1) Calcolare ∫ \frac{\sqrt{x}}{2 + x}.

2) Calcolare ∫ \frac{dx}{(1 + tan x) sen^{2}x}.

3) (i) Dare ipotesi su f : ℝ → ℝ affinché la sua trasformata di Fourier appartenga a R_{1}(ℝ) e dimostrare l’affermazione fatta. (ii) Sia f : ℝ → ℝ tale che f̂ ∈ R_{1}(ℝ); trovare la soluzione del seguente problema:

u_{tt} − 2u_{xx} = 0 ,  x ∈ ℝ ,  t > 0 ,
u(x, 0) = 0 , u_{t}(x, 0) = f(x) .

Si discutano le proprietà di regolarità della soluzione trovata u.

Parte II

4) Sotto quali ipotesi la serie di Fourier di f ∈ C([0, 2π], ℝ) converge uniformemente a f su [0, 2π]? Dimostrare il relativo teorema.

5) (i) Dare la definizione di R_{1}([0, 1]) e dimostrare che la definizione data è ben posta. (ii) Dare un esempio di funzione f ∈ R_{1}([0, 1]) tale che f ∉ R([0, 1]).

6) Si dimostri che l’insieme ternario di Cantor non ha punti isolati.