Soluzioni 9-AM4

Laura Di Gregorio

27 novembre 2003

1)

a) Sia st > 0. Basta osservare che

st = exp(log s + log t)
= exp (\frac{1}{p}p log s + \frac{1}{q}q log t)
≤ \frac{1}{p} exp(p log s) + \frac{1}{q} exp(q log t)
= \frac{s^{p}}{p} + \frac{t^{q}}{q} .

b) Basta usare n volte la relazione ottenuta di sopra per cui si ottiene

∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} ≤ ∑_{i=1}^{n} \frac{a_{i}^{p}}{p} + ∑_{i=1}^{n} \frac{b_{i}^{q}}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Siano x = (x_{1}, …, x_{n}), y = (y_{1}, …, y_{n}) ∈ ℂ^{n}. Definiamo a_{i} ≡ \frac{|x_{i}|}{|x|_{p}} e b_{i} ≡ \frac{|y_{i}|}{|y|_{p}}, dalla relazione scritta sopra segue immediatamente che

∑_{i=1}^{n} |x_{i}y_{i}| ≤ |x|_{p}|y|_{q}.

c) Si deve dimostrare che

|x + y|_{p} ≤ |x|_{p} + |y|_{p} ∀x, y ∈ ℂ^{n}.

Se p = 1 la disuguaglianza è vera. Sia p > 1. Siano x, y ≠ 0 cioè |x|_{p} ≠ 0 e |y|_{p} ≠ 0. Definiamo a, b ∈ ℝ_{+}^{n} i vettori le cui componenti siano a_{i} = |x_{i}| e b_{i} = |y_{i}|.

E’ evidente che |x + y|_{p} ≤ |a + b|_{p} e |x|_{p} = |a|_{p} e |y|_{p} = |b|_{p}. Si ha, applicando la disuguaglianza di Hölder dimostrata nel punto precedente e tenendo conto del fatto che \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,

|a + b|_{p} = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{i})^{p}

= ∑_{i=1}^{n} a_{i}(a_{i} + b_{i})^{p−1} + ∑_{i=1}^{n} b_{i}(a_{i} + b_{i})^{p−1}

≤ (|a|_{p} + |b|_{p})( ∑_{i=1}^{n}(a_{i} + b_{i})^{(p−1)q})^{\frac{1}{q}}
= (|a|_{p} + |b|_{p})|a + b|_{p}^{p−1}

da cui segue che

|a + b|_{p} ≤ |a|_{p} + |b|_{p}

e da questa segue anche la disuguaglianza per x, y.

2)

a) L’omogeneità è banale. Basta dimostrare che

∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p}.

Come nell’esercizio precedente la disuguaglianza di Minkowski segue dalla disuguaglianza di Hölder. Si dimostra prima la disuguaglianza di Hölder per funzioni semplici e poi per funzioni integrabili secondo Riemann.

Sia f = ∑ α_{i}χ_{R_{i}} e g = ∑ β_{i}χ_{R_{i}}. Non è restrittivo considerare gli stessi rettangoli. Si ha fg = ∑ α_{i}β_{i}χ_{R_{i}}. Risulta

∫ |fg| ≤ ∑_{i=1}^{n} |α_{i}β_{i}|mis(R_{i})^{\frac{1}{p}} mis(R_{i})^{\frac{1}{q}} .

Usando che

∑ a_{i}b_{i} ≤ ( ∑ a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∑ b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}

si ha che

∫ |fg| ≤ ( ∑ a_{i}^{p}mis(R_{i}))^{\frac{1}{p}} ( ∑ b_{i}^{q}mis(R_{i}))^{\frac{1}{q}} = ( ∫ |f|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∫ |g|^{q})^{\frac{1}{q}} .

Ora dimostriamo la disuguaglianza di Hölder per funzioni integrabili secondo Riemann. Possiamo supporre f, g > 0 e poi estendere il risultato a f = f^{+} − f^{−} e g = g^{+} − g^{−}. Essendo f e g R-integrabili, esistono f_{1}, g_{1} ∈ S(E) tali che 0 ≤ f_{1} ≤ f e 0 ≤ g_{1} ≤ g per cui

∫ f ≤ ∫ f_{1} + ε ∫ g ≤ ∫ g_{1} + ε.

Si ha che, per la scelta di f_{1} e f_{2},

∫ fg = ∫ [(f − f_{1}) + f_{1}][(g − g_{1}) + g_{1}] ≤ Cε + ∫ f_{1}g_{1}

dove C è una costante che dipende dal max f, g. Ora si può applicare la disuguaglianza di Hölder per funzioni semplici:

∫ f_{1}g_{1} ≤ |f_{1}|_{p}|g_{1}|_{q}.

Dimostriamo ora che vale la disuguaglianza di Minkowski per funzioni R-integrabili. Siano f, g ∈ Rp(E).

∥f + g∥_{p}^{p} = ∫_{E} |f + g|^{p−1}|f + g|
≤ ∫_{E} |f + g|^{p−1}|f| ∫_{E} |f + g|^{p−1}|g|

E’ facile dimostrare che ∥f + g∥ ∈ R_{q}(E) dove \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, e, per la disuguaglianza di Hölder, risulta:

∫_{E} |f + g|^{p−1}|f| ≤ ∥(f + g)^{p−1}∥_{q}∥f∥_{p}
∫_{E} |f + g|^{p−1}|g| ≤ ∥(f + g)^{p−1}∥_{q}∥g∥_{p}

da cui segue che

∥f + g∥_{p}^{p} ≤ ∥f + g∥_{q}^{p−1}(∥f∥_{p} + ∥g∥_{p}) = ∥(f + g)∥_{p}^{p−1}(∥f∥_{p} + ∥g∥_{p}).

Si ha che

∥f + g∥_{p} ≤ ∥f∥_{p} + ∥g∥_{p}.

b) Dimostriamo la disuguaglianza di Hölder per le funzioni di R_{p}(E). Siano f ∈ R_{p}(E), g ∈ R_{q}(E) positive. Dalla definizione esiste una successione di insiemi A_{j} ↑ E tali che f e g sono R-integrabili su A_{j} e

∫_{A_{j}} f ↑ ∫_{E} f

∫_{A_{j}} g ↑ ∫_{E} g.

Sia R un rettangolo limitato non degenere E ⊃ R ⊃ A_{j} tale che f, g = 0 su R \ A_{j}. Usando Hölder per le funzioni R-integrabili si ha che

∫_{A_{j}} fg = ∫_{R}(f_{A_{j}})(g_{A_{j}})

≤ ( ∫_{R} |f_{A_{j}}|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∫_{R} |g_{A_{j}}|^{q})^{\frac{1}{q}}

= ( ∫_{A_{j}} |f_{A_{j}}|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∫_{A_{j}} |g_{A_{j}}|^{q})^{\frac{1}{q}} .

Per come sono stati costruiti gli A_{j}:

( ∫_{A_{j}} |f|_{A_{j}}|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∫_{A_{j}} |g|_{A_{j}}|^{q})^{\frac{1}{q}} ↑ ( ∫_{E} |f|_{A_{j}}|^{p})^{\frac{1}{p}} ( ∫_{E} |g|_{A_{j}}|^{q})^{\frac{1}{q}} = ∥f∥_{p}∥g∥_{q}

c) Essendo f Riemann-integrabile su E, il Teorema di Vitali-Lebesgue dice che l’insieme dei punti di E su cui f è discontinua è un insieme di misura nulla. Sia Q l’insieme di tali punti di discontinuità. Affermo che f = 0 su E \ Q. Supponiamo per assurdo che esista x_{0} ∈ E \ Q tale che f(x_{0}) ≠ 0. Essendo x_{0} un punto di continuità esiste δ > 0 tale che f(x) ≠ 0 ∀x ∈ B_{δ}(x_{0}) e questo contraddice l’ipotesi ∫_{E} |f| = 0. d) Definendo Q = ⋃_{j}{∂A_{j}∪D(f|_{A_{j}})} dove D(f|_{A_{j}}) è l’insieme dei punti di

discontinuità di f ristretta ad A_{j}e usando il fatto che f è R-integrabile su A_{j}, si applica il risultato del punto d) e si ha la tesi.