Soluzioni 8-AM4

Laura Di Gregorio

20 novembre 2003

1. M è un k-elemento di varietà quindi esiste una inclusione differenziabile φ tale che 1 ≤ k ≤ m

φ : U ⊂ ℝ^{k} ⟶ M

tale che

u ⟼ x = φ(u).

Analogamente N è un h-elemento di varietà quindi esiste una inclusione differenziabile ψ tale che 1 ≤ h ≤ n

ψ : U ⊂ ℝ^{h} ⟶ M

tale che

v ⟼ y = ψ(v)

Sia

χ : U × V ⟶ ℝ^{n+m}

tale che

χ(u, v) = (φ(u), ψ(v)).

Se consideriamo la matrice

Dχ = ( \begin{matrix}Dφ & 0 \\ 0 & Dψ \end{matrix} )

segue facilmente che l’applicazione χ è un’inclusione differenziabile perché è iniettiva e la matrice Dχ ha rango massimo.

2. L’applicazione

y ⟼ ∫_{M} f(x, y)dσ_{M}(x)

è banalmente continua, basta osservare che

∫_{M} f(x, y)dσ_{M}(x) = ∫_{U} f(φ(u), y)\sqrt{∑_{1≤i_{1}<i_{k}≤m} |det\frac{∂(φ_{i_{1}}, …, φ_{i_{k}})}{∂(u_{1}, …, u_{k})}|^{2}} du

e che φ è continua su U e f è continua, in particolare, su M × y. Analogamente per l’altra.

3. Si osservi che:

∫_{N} ( ∫_{M} f(x, y) dσ_{M}(x)) dσ_{N}(y) = ∫_{V} ∫_{U} f(φ(u), ψ(v))dσ_{φ(u)}dσ_{ψ(v)}

dove

dσ_{φ(u)} = \sqrt{∑_{1≤i_{1}<i_{k}≤m} |det\frac{∂(φ_{i_{1}}, …, φ_{i_{k}})}{∂(u_{1}, …, u_{k})}|^{2}} du

dσ_{ψ(v)} = \sqrt{∑_{1≤j_{1}<j_{h}≤n} |det\frac{∂(ψ_{j_{1}}, …, ψ_{j_{h}})}{∂(v_{1}, …, v_{h})}|^{2}} dv.

Inoltre:

∫_{M×N} f(x, y) dσ_{M×N} = ∫_{U×V} f(χ(u, v)) dσ_{χ(u,v)}

dove

dσ_{χ(u,v)} = \sqrt{∑_{1≤l_{1}<l_{h+k}≤n+m} |det\frac{∂(χ_{l_{1}}, …, χ_{l_{h+k}})}{∂(u, v)}|^{2}} du dv.

Se si dimostra che

1 ≤ l_{1} < l_{k} ≤ m < m + 1 ≤ l_{k+1} < l_{k+h} ≤ m + n  (1)

si ha la tesi, in quanto basta rinominare gli indici della somma nel modo seguente:

i_{1} = l_{1} … i_{k} = l_{k}
j_{1} = l_{k+1} − m … j_{h} = l_{k+h} − m

e si vede facilmente che

dσ_{χ(u,v)} = dσ_{φ(u)}dσ_{ψ(v)}.

Per dimostrare (1) ricordiamo due proprietà del determinante:

• Se A e B sono matrici quadrate allora

det ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix} ) = detA · detB.

• Se A e B non sono quadrate allora

det ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix} ) = 0

Ora si supponga che l_{k} > m allora ci si trova nel caso in cui la matrice

A = \frac{∂(φ_{i_{1}}, …, φ_{i_{k}})}{∂(u_{1}, …, u_{k})}

non è quadrata e dunque

det\frac{∂(χ_{l_{1}}, …, χ_{l_{h+k}})}{∂(u, v)} = 0.

Analogamente i termini per cui l_{k+1} < m + 1 danno contributo nullo nel calcolo del determinante in quanto ci si trova nel caso in cui la matrice

B = \frac{∂(ψ_{j_{1}}, …, ψ_{j_{h}})}{∂(v_{1}, …, v_{h})}

non è quadrata, dunque segue (1).