Soluzioni 12-AM4

Laura Di Gregorio

18 dicembre 2003

Trasformando secondo Fourier otteniamo

\{ \begin{matrix}ũ_{t} + ξ^{2}ũ = 0 \\ ũ(0, ξ) = ũ_{0}(ξ) \end{matrix}

Dall’equazione di prim’ordine

ũ_{t} + ξ^{2}ũ = 0

segue che

ũ(ξ, t) = A e^{−ξ^{2}t}.

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene

A = ũ_{0}(ξ)

da cui segue la soluzione

ũ(ξ, t) = e^{−ξ^{2}t}ũ_{0}(ξ).

Definiamo il prodotto di convoluzione

(f ∗ g)(x) = ∫_{ℝ} f(x − y)g(y) dy.

Dalla definizione di trasformata di Fourier e di prodotto di convoluzione segue immediatamente la proprietà delle funzioni integrabili

{ \atop (f ∗ g)}(ξ) = \sqrt{2π}f̃(ξ)g̃(ξ).

Se pensiamo e^{−ξ^{2}t} come la trasformata di una certa funzione, si ottiene che la soluzione è l’antitrasformata di un prodotto di convoluzione.

Dunque basta calcolare l’antitrasformata di e^{−ξ^{2}t}.

\frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{ℝ} e^{ixξ−tξ^{2}}dξ = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{x^{2}}{4t}} ∫_{ℝ} e^{−tz^{2}} dz
= \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{x^{2}}{4t}} ∫_{ℝ} e^{−t(y− \frac{ia}{2b})^{2}}
= \frac{1}{\sqrt{2t}} e^{− \frac{x^{2}}{4t}} .

Dalle considerazioni fatte in precedenza, segue che

u(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4πt}} ∫_{ℝ} e^{− \frac{(x−y)^{2}}{4t}} u_{0}(y) dy

è la soluzione dell’equazione del calore in ℝ.