Soluzioni 11-AM4

Laura Di Gregorio

11 dicembre 2003

1) Le due condizioni omogenee u(0, t) = u(π, t) = 0 suggeriscono di cercare una soluzione del tipo

u(x, t) = ∑_{n≥1} u_{n}(t) sin nx.

Mettendo tale espressione nell’equazione delle onde omogenea si ottiene che gli u_{n} devono soddisfare un’equazione del tipo

ü_{n} + n^{2}u_{n}(t) = 0

quindi saranno della forma

u_{n}(t) = a_{n} cos nt + b_{n} sin nt.  (1)

Dalla condizione u(x, 0) = sin^{3} x segue che

a_{n} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} sin^{3} x sin nxdx

e dalla condizione u_{t}(x, 0) = 0 segue che b_{n} = 0. Dunque gli a_{n} sono i coefficienti di Fourier di sin^{3} x. Risulta

sin^{3} x = \frac{1}{4}(3 sin x − sin 3x)

dunque a_{1} = \frac{3}{4}, a_{3} = −\frac{1}{4} e a_{n} = 0 per n ≠ 1, 3. Mettendo questi coefficienti nella (1) si ottiene che la soluzione è

u(x, t) = \frac{3}{4} cos t sin x − \frac{1}{4} cos 3t sin 3x.

2) La condizione da imporre su f e g è che la loro estensione dispari sia C_{per}^{4} e che le derivate soddisfino f^{2k}(0) = f^{2k}(π) = g^{2k}(0) = g^{2k}(π) = 0 per 0 ≤ k ≤ 2.

3)

1. f̃(ξ) = \frac{1}{\sqrt{2π}} \frac{e^{−iξa} − e^{−iξb}}{iξ};

2. f̃(ξ) = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} (\frac{sin ξ}{ξ} − ∫_{0}^{1} x cos xξ dx).

Svolgendo l’integrale si ottiene

f̃(ξ) = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} (\frac{sin ξ}{ξ} − \frac{sin ξ}{ξ} − \frac{cos ξ}{ξ^{2}} + \frac{1}{ξ^{2}} )
= \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} \frac{1 − cos ξ}{ξ^{2}} ;

3. Si calcoli la trasformata di Fourier di e^{−|x|}. Risulta

ẽ^{−|x|} = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} \frac{1}{1 + ξ^{2}}

e dalla formula

{ \atop f(ax)}(ξ) = \frac{1}{a}f̃(ξ/a)

si ottiene facilmente che

{ \atop e^{−a|x|}}(ξ) = \begin{matrix}√ & \overline{2} \\ √ & \overline{π} \end{matrix} \frac{a}{a^{2} + ξ^{2}} .