Soluzioni 10-AM4

Laura Di Gregorio 4 dicembre 2003

1) Calcoliamo i coefficienti dispari

b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} sin kx dx
= \frac{1}{π} [e^{x} sin kx]_{−π}^{π} − \frac{n}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} cos kx dx
= −\frac{n}{π}[e^{x} cos kx]_{−π}^{π} − \frac{k^{2}}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} sin kx dx

dunque

b_{k} = (−1)^{k+1} \frac{k}{k^{2} + 1} \frac{2 sinh π}{π} .

Inoltre

c_{0} = \frac{sinh π}{π} .

Analogamente calcoliamo i coefficienti pari

a_{k} = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} cos kx dx
= \frac{1}{π} [e^{x} cos kx]_{−π}^{π} + \frac{n}{π} ∫_{−π}^{π} e^{x} sin kx dx
= (−1)^{k}(2\frac{sinh π}{π} ) + (−1)^{k+1} \frac{k^{2}}{k^{2} + 1}(2\frac{sinh π}{π} )

dunque

a_{k} = 2\frac{(−1)^{k}}{k^{2} + 1} \frac{sinh π}{π} .

Infine otteniamo

e^{x} = \frac{sinh π}{π} + 2 ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k^{2} + 1} \frac{sinh π}{π} [ cos kx − sin kx].

2) I coefficienti di Fourier sono

b_{k} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} e^{x} sin kx dx
= \frac{2}{π} [e^{x} sin kx]_{0}^{π} − \frac{k}{π} ∫_{0}^{π} e^{x} cos kx dx
= −\frac{k}{π} [e^{x} cos kx]_{0}^{π} − \frac{k^{2}}{π} ∫_{0}^{π} e^{x} sin kx dx

dunque

b_{k} = \frac{k}{k^{2} + 1}[(−1)^{k}e^{π} − 1].

Inoltre

c_{0} = \frac{sinh π}{π} .

Infine otteniamo

e^{x} = \frac{sinh π}{π} + ∑_{k=1}^{∞} \frac{k}{k^{2} + 1}[(−1)^{k}e^{π} − 1] sin kx.

3) Sia F (x) = x. Essendo una funzione dispari basta calcolare i coefficienti della serie dei seni.

F̂_{k} = b_{k} = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} x sin kx dx
= \frac{1}{π} [ − \frac{x cos kx}{k}]_{0}^{2π} + \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} cos kx dx
= −\frac{2}{k}

Inoltre

F̂_{0} = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} x dx = π

dunque la serie di Fourier richiesta è

f(x) = \frac{π − x}{2}
= \frac{π}{2} + \frac{1}{2}( − π + ∑_{k=1}^{∞} \frac{2}{k} sin kx)

= ∑_{k=1}^{∞} \frac{sin kx}{k}

4) Basta osservare che

sin^{2} k^{2}x = (\frac{e^{ik^{2}x} − e^{−ik^{2}x}}{2i} )^{2}
= \frac{−e^{2ik^{2}x} − e^{−2ik^{2}x} + 2}{4}
= \frac{1 − cos 2k^{2}x}{2}

dunque la serie di Fourier associata ad f è

f(x) = f̂_{0} − ∑_{k=1}^{∞} \frac{cos 2k^{2}x}{2^{k+1}}

dove

f̂_{0} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{2^{k+1}} = \frac{1}{2}.