AM4 - I Esonero-A.A.2003-2004

SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI

Esercizio 1

Calcolare

∫_{γ} \frac{y^{3} + \sqrt{1 − z}}{z^{2}} ds

dove γ(t) := (cos t, sin t, t) con −\frac{1}{2} ≤ t ≤ \frac{1}{2}.

Soluzione

Si calcola ds = \sqrt{2} dt da cui segue che

∫_{γ} \frac{y^{3} + \sqrt{1 − z}}{z^{2}} ds = \sqrt{2} ∫_{−1/2}^{1/2} \frac{sin^{3} t}{t^{2}} dt + \sqrt{2} ∫_{−1/2}^{1/2} \frac{\sqrt{1 − t}}{t^{2}} dt
= \sqrt{2} ∫_{−1/2}^{1/2} \frac{\sqrt{1 − t}}{t^{2}} dt

Ponendo \sqrt{1 − t} = x si ha

∫_{−1/2}^{1/2} \frac{\sqrt{1 − t}}{t^{2}} dt = ∫ \frac{\sqrt{2}}{2} ; \begin{matrix}^{√} & \overline{3} \\ ^{√} & \overline{2} \end{matrix} \frac{2x^{2}}{(1 − x^{2})^{2}} dx
= ∫ \frac{\sqrt{2}}{2} ; \begin{matrix}^{√} & \overline{3} \\ ^{√} & \overline{2} \end{matrix} [\frac{A}{1 − x} + \frac{B}{1 + x} + \frac{C}{(1 − x)^{2}} + \frac{D}{(1 + x)^{2}} ]dx

A, B, C, D soddisfano la seguente relazione

A(1 + x)(1 − x)^{2} + B(1 − x)(1 + x)^{2} + C(1 + x)^{2} + D(1 − x)^{2} = 2x^{2} Risolvendo il sistema dei coefficienti si ottiene

A = −\frac{1}{2} = B = −C = −D

quindi l’integrale diventa

∫ \frac{\sqrt{2}}{2} ; \begin{matrix}^{√} & \overline{3} \\ ^{√} & \overline{2} \end{matrix} \frac{2x^{2}}{(1 − x^{2})^{2}} dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{\sqrt{2}}{2} ; \begin{matrix}^{√} & \overline{3} \\ ^{√} & \overline{2} \end{matrix} [ − \frac{1}{1 − x} − \frac{1}{1 + x} + \frac{1}{(1 − x)^{2}} + \frac{1}{(1 + x)^{2}} ]dx
= \frac{1}{2}[ ln |1 − x| − ln(1 + x) + \frac{1}{1 − x} − \frac{1}{1 + x}]\frac{\sqrt{2}}{2} ; \begin{matrix}^{√} & \overline{3} \\ ^{√} & \overline{2} \end{matrix}

e dunque

∫_{γ} \frac{y^{3} + \sqrt{1 − z}}{z^{2}} ds = \frac{\sqrt{2}}{2}[ ln |1 − x| − ln(1 + x) + \frac{1}{1 − x} − \frac{1}{1 + x}]\frac{\sqrt{2}}{2} ; \begin{matrix}^{√} & \overline{3} \\ ^{√} & \overline{2} \end{matrix}

Esercizio 2

Calcolare

∫ arccos \sqrt[3]{x} dx.

Soluzione

Ponendo cos t = \sqrt[3]{x} si ha dx = −3 cos^{2} t sin t dt e l’integrale diventa

∫ arccos \sqrt[3]{x} dx = −3 ∫ t cos^{2} t sin t dt
= t cos^{3} t − ∫ cos^{3} t dt
= t cos^{3} t − ∫ (1 − sin^{2} t) cos t dt
= t cos^{3} t − sin t + \frac{1}{3} sin^{3} t dt

in termini della variabile x si ha

∫ arccos \sqrt[3]{x} dx = x arccos \sqrt[3]{x} − \sqrt{1 − x^{2/3}} + \frac{1}{3}(1 − x^{2/3})^{\frac{3}{2}}

Esercizio 3

Sia S la superficie parametrizzata da x(u, v) = u

y(u, v) = sin v − u cos v
z(u, v) = cos v + u sin v

con v ∈ (0, π) e u ∈ (0, 1). Sia f(x, y, z) = xy + yz + zx, calcolare ∫_{S} fdσ.

Soluzione

Si ha dσ = \sqrt{1 + 2u^{2}} dunque l’integrale diventa

∫_{S} fdσ = ∫_{0}^{1} \sqrt{1 + 2u^{2}} ∫_{0}^{π} sin v cos v dv du
+ ∫_{0}^{1} u\sqrt{1 + 2u^{2}} ∫_{0}^{π}(sin v + cos v + 2 sin^{2} v − 1) dv du
+ ∫_{0}^{1} u^{2}\sqrt{1 + 2u^{2}} ∫_{0}^{π}(sin v − sin v cos v − cos v) dv du

Si osservi che

∫_{0}^{π} sin v cos v dv = 0

e anche

∫_{0}^{π} cos v dv = 0

dunque l’integrale si riduce a

∫_{S} fdσ = ∫_{0}^{1} u\sqrt{1 + 2u^{2}} ∫_{0}^{π}(sin v + 2 sin^{2} v − 1) dv du
+ ∫_{0}^{1} u^{2}\sqrt{1 + 2u^{2}} ∫_{0}^{π} sin v dv du

Calcolando gli integrali in dv si ha

∫_{S} fdσ = (2 + π − π) ∫_{0}^{1} u\sqrt{1 + 2u^{2}} du + 2 ∫_{0}^{1} u^{2}\sqrt{1 + 2u^{2}} du

= 2 ∫_{0}^{1} u\sqrt{1 + 2u^{2}} du + 2 ∫_{0}^{1} u^{2}\sqrt{1 + 2u^{2}} du

Per quanto riguarda il primo integrale si ha subito che

∫_{0}^{1} 2u\sqrt{1 + 2u^{2}} du = \frac{1}{3}[(1 + 2u^{2})^{3/2}]_{0}^{1}.

Per il secondo integrale basta fare la sostituzione u\sqrt{2} = sinh t per cui si ottiene

∫_{0}^{1} u^{2}\sqrt{1 + 2u^{2}} du = \frac{1}{2\sqrt{2}} ∫_{0}^{ln(\sqrt{2}+\sqrt{3})} sinh^{2} t cosh^{2} t dt
= \frac{1}{8\sqrt{2}} ∫_{0}^{ln(\sqrt{2}+\sqrt{3})}(1 + cosh 2t)(cosh 2t − 1) dt
= \frac{1}{8\sqrt{2}} ∫_{0}^{ln(\sqrt{2}+\sqrt{3})}(cosh^{2} 2t − 1) dt
= \frac{1}{8\sqrt{2}} ∫_{0}^{ln(\sqrt{2}+\sqrt{3})} [\frac{1}{2}(1 + cosh 4t) − 1] dt

= \frac{1}{8\sqrt{2}} [ − \frac{1}{2}t + \frac{1}{8} sinh 4t]_{0}^{ln(\sqrt{2}+\sqrt{3})}

Se si vuole scrivere il risultato in termini di u si ha

∫_{S} fdσ = [\frac{1}{3}(1+2u^{2})^{3/2}+\frac{1}{16}(u\sqrt{1 + 2u^{2}}(1+4u^{2})−\frac{1}{\sqrt{2}} ln (u\sqrt{2}+\sqrt{1 + 2u^{2}}))]_{0}^{1}