AM4 -Esercitazione 11 A.A.2003-2004

Prof. Luigi Chierchia, Dott. Laura Di Gregorio 11 dicembre 2003

Esercizio 1

Risolvere il seguente problema di Dirichlet per l’equazione delle onde:

\{ \begin{matrix}u_{tt} − u_{xx} = 0  0 < x < π \\ u(0, t) = u(π, t) = 0  t > 0 \\ u(x, 0) = sin^{3} x \\ u_{t}(x, 0) = 0 \end{matrix}

Esercizio 2

Trovare una classe di funzioni per cui il problema di Dirichlet:

\{ \begin{matrix}u_{tt} − u_{xx} = 0 0 < x < π \\ u(0, t) = u(π, t) = 0 t > 0 \\ u(x, 0) = f(x) \\ u_{t}(x, 0) = g(x) \end{matrix}

ha soluzione.

Esercizio 3

Calcolare la trasformata di Fourier delle seguenti funzioni:

1. f(x) = χ_{[a,b]};

2. f(x) = \{ \begin{matrix}1 − |x|, & |x| ≤ 1; \\ 0, & |x| > 1; \end{matrix}

3. f(x) = e^{−a|x|} a > 0.