AM3 - Tutorato IX

Integrazione in ℝ^{n} e cambio di variabili

Mercoledì 5 maggio 2004

Esercizio 1. Calcolare il seguente integrale doppio :

∫∫_{D} e^{x}|xy − 1 − y|\frac{e^{2x}y^{2}}{x^{2} (1 + y)^{2}} dx dy

dove

D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : 1 ≤ ye^{x} ≤ 2, 2 ≤ x(y + 1) ≤ 3}

(sugg: considerare un opportuno cambio di variabili) .

Esercizio 2. Sia T = {(x, y) ∈ ℝ^{2} : x^{3} ≤ y ≤ 3, x ≥ 1} calcolare il seguente integrale doppio:

∫∫_{T} x^{2} (y − x^{3}) exp (y + x^{3}) dx dy

(sugg: considerare un opportuno cambio di variabili) .

Esercizio 3. Sia B la regione di ℝ^{3} limitata dalle superfici di equazioni z = 0 , 4z = x^{2} + y^{2} e x^{2} + y^{2} − 2y = 0 calcolare il seguente integrale triplo:

∫∫∫_{B} x\sqrt{|yz|} dx dy dz

Esercizio 4. Sia E = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x ≥ 0, z^{2} ≤ x^{2} + y^{2} ≤ ax} , con a > 0 parametro reale, calcolare

∫∫∫_{E} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dx dy dz

(sugg: considerare il passaggio a coordinate sferiche) .