AM3 - Tutorato III - Mercoledì 10 marzo 2004 d.C.

1. Trovare la soluzione generale delle seguenti equazioni differenziali :

(a) ẋ + 3x = 5

(b) ẋ = \sqrt{\frac{x}{t}} − \frac{x}{t}

suggerimento: ricondursi ad un’equazione a variabili separabili

ponendo y := \frac{x}{t}

(c) x^{(4)} − 4x^{(3)} + 5ẍ − 4ẋ + 4x = 0

(d) ẍ − x = \frac{1}{1 + e^{t}}

suggerimento: risolvere prima l’equazione differenziale omogenea associata: la soluzione sarà una combinazione lineare di due funzioni x_{1} e x_{2}. Applicare poi il metodo di variazione delle costanti cercando una soluzione dell’equazione data della forma c_{1}(t)x_{1} + c_{2}(t)x_{2} imponendo che le due funzioni c_{1}(t) e c_{2}(t) soddisfino la relazione c′_{1}(t)x_{1} + c′_{2}(t)x_{2} = 0.

2. Risolvere i problemi di Cauchy dati dall’equazione differenziale ẋ + 3x = 5 e dalle condizioni iniziali:

(a) x(0) = 1

(b) x(2) = −5

(c) x(−1) = \sqrt{2}