AM3 - Tutorato II - Mercoledì 3 marzo 2004 d.C.

1. Risolvere le seguenti equazioni differenziali con il metodo della separazione di variabili:

(a) x′ = \frac{t^{3} + 3}{xt^{3} + xt^{2} + xt + x}

(b) y′ = \frac{(y^{2} + 3)(2 + \sqrt[3]{x + 1})}{1 + \sqrt{x + 1}}

(c) x′ = \frac{t^{2} + \sqrt{7} t}{\sqrt{3 − 2x − x^{2}}}

(d) y′ = cos(ln x) exp y

2. Sia Mat_{ℝ}(n × m) lo spazio vettoriale delle matrici reali con n righe e m colonne. Si considerino le funzioni:

||A||_{∞} := sup_{i,j} |a_{ij}| ;

||A||_{∞,∞} := sup_{||x||_{∞}=1} ||Ax||_{∞} .

Dimostrare che ||A||_{∞} e ||A||_{∞,∞} sono norme equivalenti su Mat_{ℝ}(n × m).