AM3 - Tutorato XII

Teorema della divergenza e teorema di Stokes

Venerdì 28 maggio 2004

Esercizio 1. Sia Σ la superficie in ℝ^{3} ottenuta intersecando il piano x − y + z = 1 con l’interno del cilindro di equazione x^{2} + y^{2} = 1 :

1. Si specifichi un orientamento compatibile tra una normale a Σ ed un orientamento su ∂Σ

2. Rispetto all’orientamento di cui sopra si verifichi che :

∫_{∂Σ^{+}} xz dx + yz dy + xy dz = ∫_{Σ} rot(xz, yz, xy) · n⃗ dσ

Esercizio 2. Siano S , D e γ i seguenti sottinsiemi di ℝ^{3} :

S = {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z > 0}, γ = {x^{2} + y^{2} = 1, z = 0},
D = {x^{2} + y^{2} ≤ 1, z = 0}

e sia

F⃗ = (\frac{y}{1 + z^{2}} , x^{3}z^{97} − y, z + x^{2})

1. Utilizzando il teorema della divergenza si calcoli

∫_{S} F⃗ · n⃗ dσ

dove n⃗ è la normale esterna alla superficie chiusa S ∪ D ∪ γ .

2. Sia γ^{+} la curva γ orientata in senso antiorario nel piano {z = 0}, si calcoli

∫_{γ^{+}} ω1 ; F⃗

3. (∗) Calcolare

∫_{S} rotF⃗ · n⃗ dσ

Esercizio 3. Calcolare il flusso del campo vettoriale in ℝ^{3}

F⃗ = (y cos(x + y) + log(1 + z^{2}), −x cos(x + y) − x^{3} − cos z, y sin^{3} x)

uscente dal solido

D = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} t.c. |y| ≤ x ≤ 2 − |y|, 0 ≤ z ≤ x + y}