AM3 - Tutorato X

Integrali curvilinei e superficiali

Mercoledì 19 maggio 2004

Esercizio 1. Sia γ la curva in ℝ^{2} espressa in coordinate polari dalla seguente condizione:

ρ = a(1 + cos θ) θ ∈ [0, 2π]

calcolare la lunghezza di γ al variare del parametro a > 0

Esercizio 2. Calcolare il seguente integrale curvilineo

∫_{γ} xy^{2} dl

dove γ è la curva ottenuta intersecando il cono di equazione x^{2} = 2z^{2} + \frac{1}{2}y^{2} con il piano z = x − 1

Esercizio 3. Sia C = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ z ≤ 1, z^{2} = x^{2} + y^{2}}, calcolare

∫_{C} (x^{2} + y^{2})^{n} dσ

nei seguenti modi:

1. parametrizzando C come il grafico di una opportuna funzione.

2. considerando C come una superficie di rotazione.

Esercizio 4. Sia S la porzione della sfera unitaria di ℝ^{3} contenuta nel semispazio z > 0 , si calcoli

∫_{S} \frac{1}{x^{2} + y^{2} − 2} dσ