AM3 - Tutorato I - Mercoledì 25 febbraio 2004 d.C.

1. Si consideri lo spazio di funzioni S := {f ∈ C^{1}((0, 1), ℝ) : ||f||_{C^{1}} < ∞}

con ||f||_{C^{1}} := sup_{(0,1)} |f| + sup_{(0,1)} |f′| .

Si dimostri che (S, ||f||_{C^{1}}) è uno spazio di Banach, ovvero uno spazio normato completo.

2. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

(a) ∫ \frac{x^{4} − 3x^{3} + 4x^{2} + x − 2}{x^{3} − 3x^{2} + 4x − 2} dx

(b) ∫ \frac{dx}{\sqrt{2x − 3} − \sqrt[4]{2x − 3}}

(c) ∫ x\sqrt{x^{2} + x + 1} dx

suggerimento: scrivere il polinomio di secondo grado sotto il segno di radice nella forma z^{2} + k^{2} con z = z(x) tramite il metodo del completamento del quadrato, ed effettuare quindi la sostituzione z = k sinh t.

(d) ∫ sin^{2003}x dx