AM3 - Soluzioni del Tutorato V - Mercoledì 24 marzo 2004 d.C.

1. Tramite separazione di variabili otteniamo

ẏ = \frac{14x^{5} + 12x^{4} + 28x^{3} + 50x^{2} + 67x + 61}{(x^{2} + 3)^{2} (x + 2)^{2}} y^{2} ⇒

⇒ −\frac{1}{y} = ∫ \frac{14x^{5} + 12x^{4} + 28x^{3} + 50x^{2} + 67x + 61}{(x^{2} + 3)^{2} (x + 2)^{2}} dx ⇒

⇒ y = − (∫ \frac{14x^{5} + 12x^{4} + 28x^{3} + 50x^{2} + 67x + 61}{(x^{2} + 3)^{2} (x + 2)^{2}} dx)^{−1} .

Ci siamo così ricondotti alla soluzione dell’integrale indefinito che compare al secondo membro. Cerchiamo una scomposizione della funzione razionale integranda in fratti semplici della forma : \frac{A}{x+2} + \frac{B}{(x+2)^{2}} + \frac{Cx+D}{x^{2}+3} + \frac{Ex+F}{(x^{2}+3)^{2}} ;

Eguagliando tale espressione alla funzione \frac{14x^{5}+12x^{4}+28x^{3}+50x^{2}+67x+61}{(x^{2}+3)^{2} (x+2)^{2}} otteniamo i valori dei coefficienti : A = 3 , B = −1 , C = 2 , D = −1 , E = 0 , F = 7 .

Possiamo ora calcolare agevolmente l’integrale :

∫ \frac{14x^{5} + 12x^{4} + 28x^{3} + 50x^{2} + 67x + 61}{(x^{2} + 3)^{2} (x + 2)^{2}} dx =

= ∫ \frac{3}{x + 2} − \frac{1}{(x + 2)^{2}} + \frac{2x − 1}{x^{2} + 3} + \frac{7}{(x^{2} + 3)^{2}} dx =

= 3 ln |x + 2| + \frac{1}{x + 2} + ln(x^{2} + 3) − ∫ \frac{dx}{x^{2} + 3} + 7 ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 3)^{2}} .

˙ ∫ \frac{dx}{x^{2} + 3} = \frac{1}{3} ∫ \frac{dx}{(\frac{x}{\sqrt{3}})^{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}) + K .

˙ ∫ \frac{dx}{(x^{2} + 3)^{2}} = \frac{1}{3} ∫ \frac{3}{(x^{2} + 3)^{2}} dx = \frac{1}{3} ∫ \frac{3 + x^{2} − x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}} dx =

= \frac{1}{3} ∫ \frac{3 + x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}} dx−\frac{1}{3} ∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}} dx = \frac{1}{3} ∫ \frac{dx}{x^{2} + 3}−\frac{1}{3} ∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}} dx

∫ \frac{x^{2}}{(x^{2} + 3)^{2}} dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{2x}{(x^{2} + 3)^{2}} x dx = \frac{1}{2} ∫ \frac{d}{dx} (−\frac{1}{x^{2} + 3}) x dx =

= −\frac{1}{2} \frac{x}{x^{2} + 3} + \frac{1}{2} ∫ \frac{dx}{x^{2} + 3} .

2. Risolvendo per separazione di variabili l’equazione differenziale omogenea associata ẏ + e^{x}y = 0 otteniamo la soluzione generale y_{0} = Ke^{−e^{x}} . Applichiamo ora il metodo di variazione della costante cercando una soluzione dell’equazione data della forma y^{∗} = c(x)e^{−e^{x}} . ẏ^{∗} + e^{x}y^{∗} = e^{x} cos^{2}(e^{x}) ⇒ ⇒ c′(x)e^{−e^{x}} − c(x)e^{−e^{x}+x} + c(x)e^{−e^{x}+x} = e^{x} cos^{2}(e^{x}) ⇒ ⇒ c′(x) = e^{x} cos^{2}(e^{x})e^{e^{x}} . Integrando otteniamo c(x) = ∫ cos^{2}(e^{x})e^{e^{x}}e^{x}dx , ovvero, tramite la sostituzione t = e^{x}, c(x) = ∫ cos^{2} te^{t} dt .

Utilizzando la formula trigonometrica cos^{2} t = \frac{1}{2}(1 + cos(2t)) abbiamo

∫ cos^{2} te^{t} dt = ∫ \frac{1}{2}e^{t} dt + ∫ \frac{1}{2} cos(2t)e^{t} dt =

= \frac{1}{2}e^{t} + \frac{1}{2} ∫ cos(2t)e^{t} dt .

∫ cos(2t)e^{t} dt = cos(2t)e^{t} + 2 ∫ sin(2t)e^{t} dt =

= cos(2t)e^{t} + 2 sin(2t)e^{t} − 4 ∫ cos(2t)e^{t} dt ⇒

⇒ ∫ cos(2t)e^{t} dt = \frac{1}{5}e^{t}(cos(2t) + 2 sin(2t)) + J .

Prendendo c(x) = \frac{1}{2}e^{t} (1 + \frac{1}{5}(cos(2t) + 2 sin(2t))) , dove t = e^{x} , abbiamo che la soluzione generale è data da : y = y_{0} + y^{∗} = Ke^{−e^{x}} + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{5}(cos(2e^{x}) + 2 sin(2e^{x}))).

3. L’equazione omogenea associata ha polinomio caratteristico λ^{2} − 4λ + 29 = (λ − 2 + 5i)(λ − 2 − 5i) . La sua soluzione generale è quindi y_{0} = K_{1}e^{2x} sin(5x) + K_{2}e^{2x} cos(5x) . Applichiamo il metodo di variazione delle costanti: sia y^{∗} = c_{1}(x)e^{2x} sin(5x) + c_{2}(x)e^{2x} cos(5x) una soluzione dell’equazione differenziale data . Imponendo la condizione aggiuntiva c′_{1}(x)e^{2x} sin(5x) + c′_{2}(x)e^{2x} cos(5x) = 0 avremo ẏ^{∗} = c_{1}(x)e^{2x}(2 sin(5x) + 5 cos(5x)) + c_{2}(x)e^{2x}(2 cos(5x) − 5 sin(5x)) = = 2y^{∗} + 5e^{2x}(c_{1}(x) cos(5x) − c_{2}(x) sin(5x)) ÿ^{∗} = 2ẏ^{∗} + 10e^{2x}(c_{1}(x) cos(5x) − c_{2}(x) sin(5x)) + +5e^{2x}(c′_{1}(x) cos(5x)−5c_{1}(x) sin(5x)−c′_{2}(x) sin(5x)−5c_{2}(x) cos(5x)) = = 4ẏ^{∗} − 29y^{∗} + 5e^{2x}(c′_{1}(x) cos(5x) − c′_{2}(x) sin(5x)) ÿ^{∗} − 4ẏ^{∗} + 29y^{∗} = 1 ⇒ 5e^{2x}(c′_{1}(x) cos(5x) − c′_{2}(x) sin(5x)) = 1 .

Consideriamo ora le due condizioni

\{ \begin{matrix}c′_{1}(x) cos(5x) − c′_{2}(x) sin(5x) = \frac{1}{5}e^{−2x} (I) \\ c′_{1}(x)e^{2x} sin(5x) + c′_{2}(x)e^{2x} cos(5x) = 0 (II) \end{matrix} ;

tramite opportune combinazioni lineari otteniamo

c′_{1}(x) (cos(5x) + \frac{sin^{2}(5x)}{cos(5x)}) = \frac{1}{5}e^{−2x} (I + II tan(5x))

c′_{2}(x) (cos(5x) + \frac{sin^{2}(5x)}{cos(5x)}) = −\frac{1}{5}e^{−2x} (II − I tan(5x))

da cui c′_{1}(x) = \frac{1}{5}e^{−2x} cos(5x) c′_{2}(x) = −\frac{1}{5}e^{−2x} sin(5x) ed integrando due volte per parti determiniamo (a meno di una costante) c_{1}(x) = \frac{1}{145}e^{−2x}(5 sin(5x) − 2 cos(5x)) c_{2}(x) = \frac{1}{145}e^{−2x}(5 − 2 sin(5x)) .

La soluzione è dunque y = y_{0} + y^{∗} , con y^{∗} = \frac{1}{145}[5(sin^{2}(5x)+cos^{2}(5x))−4 sin(5x) cos(5x)] = \frac{1}{145}[5−4 sin(5x) cos(5x)] 4. Siamo nel caso di un’equazione differenziale di Bernoulli.

L’equazione omogenea associata, risolubile per separazione di variabili, ha soluzione y_{0} = Ke^{− \frac{1}{2x^{2}}} . Sia y^{∗} = c(x)e^{− \frac{1}{2x^{2}}} una soluzione dell’equazione data. ẏ^{∗} = c′(x)e^{− \frac{1}{2x^{2}}} + \frac{1}{x^{3}} c(x)e^{− \frac{1}{2x^{2}}} .

ẏ^{∗} − \frac{y^{∗}}{x^{3}} = ^{\frac{e^{\frac{2x+3}{2x^{2}}}}{3x^{2}}} ln x y^{∗}^{4} ⇒ c′(x)e^{− \frac{1}{2x^{2}}} = ^{\frac{e^{\frac{2x+3}{2x^{2}}}}{3x^{2}}} ln x c^{4}(x)e^{− \frac{2}{x^{2}}} ⇒ ⇒ \frac{c′(x)}{c^{4}(x)} = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{3x^{2}} ln x . Integrando otteniamo −\frac{1}{3c^{3}(x)} = ∫ \frac{e^{\frac{1}{x}}}{3x^{2}} ln x dx = ∫ \frac{d}{dx} (−\frac{e^{\frac{1}{x}}}{3} ) ln x dx =

= −\frac{e^{\frac{1}{x}}}{3} ln x − ∫ \frac{e^{\frac{1}{x}}}{3x^{2}} \frac{1}{x} dx ; tramite la sostituzione t = \frac{1}{x} calcoliamo ∫ \frac{e^{\frac{1}{x}}}{3} \frac{1}{x} dx = −\frac{1}{3} ∫ e^{t}t dt = −\frac{1}{3}e^{t}t + \frac{1}{3}e^{t} . Abbiamo dunque : \frac{1}{3c(x)} = −\frac{1}{3} (e^{\frac{1}{x}} ln x − \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} ) ⇒

⇒ c(x) = (e^{\frac{1}{x}} (ln x + \frac{1}{x} − 1))^{− \frac{1}{3}} , da cui si trova la soluzione y = y_{0} + y^{∗} .