AM3 - Soluzioni del Tutorato IV - Mercoledì 17 marzo 2004 d.C.

1. Consideriamo l’equazione omogenea associata xÿ + ẏ = 0. Tramite la variabile ausiliaria p = ẏ ci riconduciamo all’equazione lineare di primo grado a variabili separabili xṗ + p = 0 , da cui otteniamo p = \frac{K}{x} , ovvero, integrando ulteriormente, y_{0} = K_{1} ln x + K_{2} . Cerchiamo ora una soluzione particolare dell’equazione data applicando il metodo di variazione delle costanti: sia y^{∗} = c_{1}(x) ln x+c_{2}(x) una soluzione, dove c_{1}(x) e c_{2}(x) sono funzioni da determinare ; imponendo che sia soddisfatta la condizione aggiuntiva c′_{1}(x) ln x + c′_{2}(x) = 0 , otteniamo : ẏ^{∗} = \frac{c_{1}(x)}{x} + c′_{1}(x) ln x + c′_{2}(x) = \frac{c_{1}(x)}{x}

ÿ^{∗} = \frac{c′_{1}(x)x−c_{1}(x)}{x^{2}} da cui, imponendo che y^{∗} sia soluzione dell’equazione differenziale data

\{ \begin{matrix}\frac{c′_{1}(x)x−c_{1}(x)}{x} + \frac{c_{1}(x)}{x} = x^{2} ⇒ c′_{1}(x) = x^{2} \\ c′_{1}(x) ln x + c′_{2}(x) = 0 ⇒ c′_{2}(x) = −x^{2} ln x \end{matrix}

Integrando, si ha: c_{1}(t) = \frac{x^{3}}{3} c_{2}(t) = −\frac{x^{3}}{3} ln x + \frac{x^{3}}{9} .

La soluzione generale è dunque : y = y_{0} + y^{∗} = K_{1} ln x + K_{2} + \frac{x^{3}}{3} ln x − \frac{x^{3}}{3} ln x + \frac{x^{3}}{9} = \frac{x^{3}}{9} + H ln x + J .

2. Risolvendo l’equazione omogenea associata ẏ − y tan x = 0 otteniamo, tramite la separazione di variabili y_{0} = \frac{K}{cos x} .

Applichiamo ora il metodo di variazione della costante imponendo che y^{∗} = \frac{c(x)}{cos x} sia soluzione dell’equazione data. Abbiamo ẏ_{∗} = \frac{c′(x)}{cos x} + \frac{c(x) sin x}{cos^{2} x} da cui \frac{c′(x)}{cos x} + \frac{c(x) sin x}{cos^{2} x} = \frac{c(x) tan x}{cos x} + cos x ovvero c′(x) = cos^{2} x . Integrando, otteniamo c(x) = ∫ cos^{2} x dx = ∫ cos x(sin x)′ dx = cos x sin x + ∫ sin^{2} x dx = = cos x sin x + ∫ (1 − cos^{2} x) dx = cos x sin x + x + J − c(x) , cioè c(x) = \frac{1}{2}(x + cos x sin x + J) . La soluzione è quindi y = y_{0} + y^{∗} = \frac{x+J}{2 cos x} + \frac{1}{2} sin x .

3. L’equazione differenziale omogenea del primo ordine ẏ + \frac{y}{x} = −xy^{2} non è risolubile per separazioni di variabili . Come da suggerimento, consideriamo l’equazione lineare ẏ_{0} + \frac{y_{0}}{x} = 0 (ottenuta trascurando la parte non lineare) . Ora possiamo separare le variabili ed ottenere la soluzione y_{0} = \frac{K}{x}. Applichiamo a tale funzione il metodo di variazione della costante : sia y = \frac{c(x)}{x} soluzione di ẏ + \frac{y}{x} = −xy^{2}. Avremo: \frac{c′(x)x−c(x)}{x^{2}} + \frac{c(x)}{x^{2}} = −\frac{c(x)^{2}}{x} ⇒ c′(x) + c(x)^{2} = 0 ⇒ c(x) = \frac{1}{x} + J. Abbiamo dunque trovato la soluzione: y = \frac{1}{x^{2}} + \frac{J}{x} .

4. Un’equazione differenziale del primo ordine della forma ẏ + f(x)y = g(x)y^{n} è detta equazione di Bernoulli. ( si noti che i casi n=0 , n=1 sono banali ). Per risolverla occorre considerare l’equazione lineare ẏ_{0} + f(x)y_{0} = 0 che, risolta per separazione di variabili, dá : y_{0} = Ke^{−F (x)} dove F (x) è una primitiva di f(x) . Applichiamo ora il metodo di variazione della costante: cerchiamo una soluzione per l’equazione di Bernoulli della forma y^{∗} = c(x)e^{−F (x)} . Avremo: ẏ + f(x)y = g(x)y^{n} ⇒ ⇒ c′(x)e^{−F (x)}−c(x)f(x)e^{−F (x)}+c(x)f(x)e^{−F (x)} = g(x)c(x)^{n}e^{−nF (x)} ⇒ ⇒ c′(x)e^{−F (x)} = g(x)c(x)^{n}e^{−nF (x)} da cui, separando le variabili \frac{c′(x)}{c(x)^{n}} = g(x)e^{(1−n)F (x)} ed integrando

c(x) = [−\frac{1}{(n + 1) ∫ g(x)e^{(1−n)F (x)} dx}]^{\frac{1}{n+1}} .