AM3 - Tutorato X

SOLUZIONI

mercoledì 19 maggio 2004

Soluzione esercizio 1. La curva γ è espressa in coordinate polari dalla condizione:

ρ(θ) = a(1 + cos θ)

per cui ha la seguente parametrizzazione:

γ(θ) = (ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ) θ ∈ [0, 2π]

Calcoliamo la norma euclidea della derivata di γ(θ):

∥ γ̇(θ) ∥=∥ (ρ̇ cos θ − ρ sin θ, ρ̇ sin θ + ρ cos θ) ∥ = \sqrt{ρ̇^{2} + ρ^{2}} =
= \sqrt{(−a sin θ)^{2} + a^{2} (1 + cos θ)^{2}} = \sqrt{2a^{2} + 2a^{2} cos θ} =
= a\sqrt{2}\sqrt{1 + cos θ} = 2a |cos \frac{θ}{2}|

Allora abbiamo:

L (γ) = ∫_{0}^{2π} 2a |cos \frac{θ}{2}| dθ = 4a ∫_{0}^{π} cos \frac{θ}{2} dθ = 8a [sin \frac{θ}{2}]_{0}^{π} = 8a

Soluzione esercizio 2. La curva γ è ottenuta intersecando il cono di equazione x^{2} = 2z^{2} + \frac{1}{2}y^{2} con il piano z = x − 1 per cui sostituendo l’espressione della z nella prima equazione otteniamo:

x^{2} = 2(x − 1)^{2} + \frac{y^{2}}{2} ⇒ x^{2} − 4x − 2 + \frac{y^{2}}{2} = 0 ⇒ (\frac{x − 2}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{y}{2})^{2} = 1

Ricaviamo allora da questa equazione e da quella riguardante la variabile z una immediata parametrizzazione di γ

γ(θ) = \{ \begin{matrix}x & = 2 + \sqrt{2} cos θ \\ y & = 2 sin θ \\ z & = x(θ) − 1 = 1 + \sqrt{2} cos θ \end{matrix}

con θ ∈ [0, 2π). Abbiamo dunque:

∥ γ̇(θ) ∥=∥ (−\sqrt{2} sin θ, 2 cos θ, −\sqrt{2} sin θ) ∥ = 2

e quindi in conclusione:

∫_{γ} xy^{2} dl = 2 ∫_{0}^{2π}(2 + \sqrt{2} cos θ)(2 sin θ)^{2} dθ =
= 16 ∫_{0}^{2π} sin^{2} θ dθ + 8\sqrt{2} ∫_{0}^{2π} cos θ sin^{2} θ dθ = ⋯ = 16π

Soluzione esercizio 3. Parametrizziamo inizialmente, come richiesto, il cono C come grafico di una funzione f avente dominio in ℝ^{2}. La scrittura di C come forniita nel testo suggerisce la scelta di f(u, v) = \sqrt{u^{2} + v^{2}}. Abbiamo allora la seguente parametrizzazione (o pseudo inclusione) :

C(u, v) = \{ \begin{matrix}x & = u \\ y & = v \\ z & = f(u, v) = \sqrt{u^{2} + v^{2}} \end{matrix}

dove x ed y variano, a priori, nel cerchio unitario centrato nell’origine che indichiamo con B_{1}(0) (dal momento che z ∈ [0.1] ). Osservaimo però che f non è C^{1} nell’origine per cui faremo variare x ed y in A = B_{1}(0) ∖ B_{ϵ}(0) (con ϵ < 1) per poi mandare ϵ a 0 ed ottenere l’integrale richiesto. Calcoliamo ora le derivate parziali della nostra pseudo-inclusione:

\begin{aligned}C_{u}(u, v) & = (1, 0, f_{u}(u, v)) \\ C_{v}(u, v) & = (1, 0, f_{v}(u, v)) \end{aligned}

da cui otteniamo:

C_{u} ∧ C_{v} = | \begin{matrix}i⃗ & j⃗ & k⃗ \\ 1 & 0 & f_{u} \\ 0 & 1 & f_{v} \end{matrix} | = (−f_{u}, −f_{v}, 1)

per cui

∥ C_{u} ∧ C_{v} ∥=∥ (−f_{u}, −f_{v}, 1) ∥= \sqrt{1 + f_{u}^{2} + f_{v}^{2}} =
= \sqrt{1 + (\frac{u}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} )^{2} + (\frac{v}{\sqrt{u^{2} + v^{2}}} )^{2}} = \sqrt{2}

Avendo ora tutti gli strumenti necessari, apllichiamo la definizione di integrale superficiale all’integrale assegnato:

∫_{C} (x^{2} + y^{2})^{n} dσ = ∫_{B_{1}(0)} (u^{2} + v^{2})^{n} ∥ C_{u} ∧ C_{v} ∥ du dv =
= lim_{ϵ→0} ∫_{A} (u^{2} + v^{2})^{n} \sqrt{2} du dv

Passando ora a coordinate polari (ρ cos θ, ρ sin θ) su A (che ricordiamo essere una corona circolare centrata nell’origine e avente raggi 1 ed ϵ < 1) otteniamo:

∫_{C} (x^{2} + y^{2})^{n} dσ = \sqrt{2} lim_{ϵ→0} ∫_{ϵ}^{1} (∫_{0}^{2π} ρ^{2n+1}, dθ) dρ =

= 2\sqrt{2}π lim_{ϵ→0} [\frac{ρ^{2n+2}}{2n + 2}]_{ϵ}^{1} = \frac{\sqrt{2}π}{n + 1}

Svolgiamo ora invece l’integrale assegnato considerando C come una superficie di rotazione. La curva nel semipiano di equazione y = 0 ed x ≥ 0 da cui è ottenuta C tramite una rotazione di angolo 2π è:

γ(t) = (u(t), v(t)) = (t, t) con t ∈ [0, 1]

che non è nient’altro che il segmento che unisce l’origine ed il punto (1, 0, 1). Abbiamo allora la seguente parametrizzazione per C:

ϕ(t, θ) = \{ \begin{matrix}x & = u(t) sin θ = t sin θ \\ y & = u(t) cos θ = t cos θ \\ z & = v(t) = t \end{matrix}

dove (t, θ) ∈ [0, 1] × [0, 2π] . Abbiamo quindi:

ϕ_{t}(t, θ) = (u̇(t) sin θ, u̇(t) cos θ, v̇(t))
ϕ_{θ}(t, θ) = (u(t) cos θ, −u(t) sin θ, 0)

e sviluppando la matrice formale che rappresenta il prodotto vettoriale (analogamente a quanto fatto in precedenza) otteniamo :

∥ ϕ_{u} ∧ ϕ_{v} ∥ = ∥ (uv̇ sin θ, uv̇ cos θ, −uu̇) ∥ =
= u(t)\sqrt{u̇^{2} + v̇^{2}} = \sqrt{2} t

Osservando che la formula sopra riportata è valida in generale per qualsiasi superficie di rotazione ottenuta da una curva nel piano y = 0 con x(t) ≥ 0 (così come è valida quella ottenuta in precedenza per le superfici di " tipo grafico" ), concludiamo col calcolo dell’ integrale assegnato:

∫_{C} (x^{2} + y^{2})^{n} dσ = ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{2π} t^{2n} dθ) \sqrt{2} t dt =
= ⋯ = \frac{\sqrt{2}π}{n + 1}

Soluzione esercizio 4. La porzione della sfera unitaria di ℝ^{3} contenuta nel semispazio z > 0 è :

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} t.c. : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 , z ≥ 0}

Parametrizziamo questa superficie utilizzando le coordinate sferiche:

Ψ(θ, ϕ) = \{ \begin{matrix}x & = cos θ sin ϕ \\ y & = sin θ sin ϕ \\ z & = cos ϕ \end{matrix}

dove (θ, ϕ) ∈ [0, 2π] × [0, \frac{π}{2} ] (visto che consideriamo solo la semisfera superiore). Abbiamo quindi le seguenti derivate parziali:

Ψ_{θ}(θ, ϕ) = (− sin θ sin ϕ , cos θ sin ϕ , 0)
Ψ_{ϕ}(θ ϕ) = (cos θ cos ϕ , sin θ cos ϕ , − sin ϕ)

da cui, sviluppando la matrice formale del prodotto vettoriale, otteniamo:

∥ Ψ_{θ} ∧ Ψ_{ϕ} ∥ = ∥ (− cos θ sin^{2} ϕ, − sin θ sin^{2} ϕ, − sin ϕ cos ϕ) ∥ = sin ϕ L’ integrale assegnato diviene allora:

∫_{S} \frac{1}{x^{2} + y^{2} − 2} dσ = ∫0^{\frac{π}{2}} (∫_{0}^{2π} \frac{sin ϕ}{sin^{2} ϕ − 2} dθ) dϕ =

= 2π ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin ϕ}{sin^{2} ϕ − 2} dϕ = −2π ∫0^{\frac{π}{2}} \frac{sin ϕ}{cos^{2} ϕ + 1} dϕ =
= 2π [arctan(cos ϕ)]0^{\frac{π}{2}} = −\frac{π^{2}}{2}