Soluzioni Prova scritta di AM3 del 19/7/2004 (Appello B)

1) (i) y(x) = −\frac{3}{16} e^{−x} + \frac{3}{16} e^{\frac{x}{3}} + \frac{3}{4}x e^{\frac{x}{3}} .

(ii) y(x) ≡ 0 e

y = \{ \begin{matrix}sen^{2}x , & se x ∈ (0, π) \\ 0 , & se x ∉ (0, π) \end{matrix}

sono due soluzioni. Esistono, in effetti, infinite soluzioni del problema dato: per ogni α ∈ [0, π/2], sia

y_{α}(x) := \{ \begin{matrix}0 , & se x ≤ α oppure x ≥ π − α , \\ ( sen x − sen α)^{2} , & se α < x < π − α , \end{matrix}

allora per ogni successione {α_{n}}_{n∈ℤ} con α_{n} ∈ [0, π/2]

y(x) = ∑_{n∈ℤ} y_{α_{n}}(x − 2πn)

è soluzione del problema di Cauchy dato.

2) (i) La minima distanza dall’origine è raggiunta nei punti (0, 0, ±1) della superficie.

3) Per il teorema della divergenza,

∫_{S} F · n dσ = ∫_{0}^{1}∫_{0}^{1−x}∫_{0}^{1−x−y}(z + x + y) dx dy dz = \frac{1}{8} .  (1)
∫_{S} f dσ = \sqrt{2} ∫_{0}^{2π} ∫_{0}^{1} [(z^{2} + z)\sqrt{1 + z^{2}} + z^{4} cos^{3} t + z^{3} sin^{2} t] dz dt
= −\frac{2\sqrt{2}π}{3} + \frac{25π}{6} − \frac{\sqrt{2}π}{4} arcsinh1 + \frac{\sqrt{2}π}{4} .  (2)

4) g′(0) = 0.