Prova scritta di AM3 dell’8/9/2004 Appello X

1. Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici. 2.Indicare sull’elaborato: nome e cognome, n. matricola.

3. Per superare l’esame è necessario svolgere l’esercizio 3.

1) (i) Si risolva il seguente problema di Cauchy

y′ = \frac{x + y}{x + 4y} , y(0) = 1 .

2) (i) Calcolare il massimo della funzione f = xyz per

(x, y, z) ∈ {x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 : x + y + z = a} .

(ii) Dimostrare che per ogni x, y e z non negativi si ha

\frac{x + y + z}{3} ≥ ^{3} \sqrt{xyz} .

3) (i) Calcolare la lunghezza della curva y^{2} = x^{3} tra i punti (0, 0) e (4, 8). (ii) Calcolare l’area della superficie

{z = y + log x : x ∈ [1, 2] y ∈ [1, 2]} .

4) Si consideri la funzione f(x) = (x_{2} + sen (x_{1} + x_{2}^{2}) , log(1 + x_{1} + x_{1}^{2}x_{2})) in un intorno dell’origine di ℝ^{2}. Si dica se la funzione f è invertibile in un intorno dell’origine ed in caso affermativo si calcoli la matrice jacobiana della funzione inversa nel punto f(0, 0).

5) Dare la definizione di integrale di una 1–forma , ∫_{Γ^{+}}ω. Spiegare e dimostrare l’identità

∫_{Γ^{−}}ω = −∫_{Γ^{+}}ω .

6) Dare condizioni su f(x, t) affinché il problema

ẋ = f(x, t) , x(0) = 0 ,

ammetta un’unica soluzione t ∈ ℝ → x(t). Dimostrare l’affermazione fatta.