Prova scritta di AM3 dell’11/6/2004 Appello A e recupero esoneri

Recupero I esonero: esercizi da 1) a 5). Recupero II esonero: esercizi da 6) a 10). Appello A: esercizi 1(i), 3, 5, 6, 7, 9. Motivare il lavoro svolto. Durante l’esame non è consentito l’uso di appunti, libri, calcolatrici. Indicare sul foglio: nome e cognome, n. matricola, tipo di esame scelto.

1) (i) Si risolva il seguente problema di Cauchy:

x′′ + 4x = sen t + sen (2t) , x(0) = 1 , x′(0) = 0 .

(ii) Si discuta l’intervallo di esistenza massimale per il seguente problema di Cauchy:

tx′′ + 2x′ + tx = 0 , x(π/2) = 0 , x′(π/2) = 1 .

2) Sia Γ = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x + y + z = 0} ∩ {x^{2} + y^{2} + z^{2} = 24} e si determinino il massimo ed il minimo di f(x, y, z) = xy + 2z su Γ.

3) Sia f : (x_{1}, x_{2}) ∈ ℝ^{2} → (δ + sen (x_{1} + x_{2}^{3}), x_{2} cos(x_{1}x_{2})) ∈ ℝ^{2}. Per quali valori di δ ha soluzione il sistema f(x) = 0?

4) (i) Dimostrare che K ⊂ ℝ^{n} è compatto per successioni se e solo se K è chiuso e limitato. (ii) Dare un esempio di insieme chiuso e limitato non compatto.

5) Si renda precisa e si dimostri la seguente affermazione: “la matrice jacobiana della composizione di funzioni (vettoriali) è data dal prodotto delle matrici jacobiane”.

6) Siano

S = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : z = \frac{x^{2} + y^{2}}{2} , x^{2} + y^{2} ≤ 1\} , f(x, y, z) = x^{100}y + z + \sqrt{z} ,

e si calcoli ∫_{S}fdσ.

7) (i) Sia S la superficie in ℝ^{3} data da S := {z = x^{2} + y^{2} , x^{2} + y^{2} ≤ 4}. Si mostri che S è una superficie elementare con bordo ed orientabile; se ne descriva il bordo Γ; si trovi una normale ν^{+} ad S ed un orientamento su Γ in modo tale che (Γ^{+}, ν^{+}) siano equiorientati (ovvero verifichino la “regola della mano destra”). (ii) Si enunci il teorema di Stokes per superfici in ℝ^{3} con bordo e lo si verifichi esplicitamente nel caso di S e Γ come al punto precedente per il campo vettoriale F := (x + y, z − y, x^{3}y).

8) Sia F := (1− sen x, −1, z cos x). Verificare che ∇·F = 0 e trovare una G tale che F = ∇×G.

9) (i) Si definisca la misura di Peano-Jordan in ℝ^{2} e si dimostri che è invariante per traslazioni. (ii) Si discuta l’additività dell’integrale di Riemann. (iii) Si enunci il teorema del cambio di variabile in ℝ^{2} e lo si usi per calcolare ∫_{{∞ \atop 0}}e^{−x^{2}}dx.

10) Si renda precisa e si dimostri la seguente affermazione: “una 1–forma è esatta se e solo se il suo integrale sulle curve chiuse è nullo”.