Soluzioni 4-AM3

Laura Di Gregorio 15 marzo 2004

1. La soluzione dell’omogenea è:

u_{0}(t) = ce^{− ∫ a(t)dt}.

Si cerca una soluzione particolare della non omogenea del tipo

ū(t) = c(t)e^{− ∫ a(t)dt}.

Mettendo ū dentro l’equazione si ottiene:

c(t) = ∫ f(t)e^{∫ a(τ)dτ}dt + cost.

Quindi la soluzione generale della non omogenea è:

u(t) = e^{− ∫ a(t)dt} (c + ∫ f(t)e^{∫ a(τ)dτ}) .

Nel caso richiesto basta dunque calcolare ∫ t sinh^{3} t dt.

2. La soluzione dell’omogenea è

u_{0}(t) = c_{1} cos t + c_{2} sin t.

Si cerca una soluzione particolare della non omogenea ū(t) = e^{t}(b_{1} sin t + b_{2} cos t).

Mettendo ū dentro l’equazione si ottiene:

¨ū + ū = [(2b_{1} + b_{2}) cos t + (−2b_{2} + b_{1}) sin t] = e^{t} sin t

da cui segue che

b_{1} = \frac{1}{5} e b_{2} = −\frac{2}{5}

e quindi l’integrale generale dell’equazione si ottiene sommando a una soluzione particolare della non omogenea, per esempio

ū(t) = \frac{e^{t}}{5} (sin t − 2 cos t),

la soluzione generale dell’omogenea.

3. Il polinomio caratteristico associato ha come soluzioni

λ_{1,2} = −1 ± \sqrt{1 − a}.

• Se a = 1 allora λ = −1 e u_{0}(t) = ce^{−t}. La soluzione generale è del tipo:

u(t) = (c_{1}t + c_{2})e^{−t}

e dai dati iniziali segue che u ≡ 0.

• Se a > 1 si hanno autovalori complessi coniugati per cui la soluzione generale è:

u(t) = e^{−t}(c_{1} cos \sqrt{a − 1} t + c_{2} sin \sqrt{a − 1} t).

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene:

\{ \begin{matrix}c_{1} = 0 \\ c_{2}e^{−1} sin \sqrt{a − 1} = 0 \end{matrix}

che è verificata per c_{2} ≠ 0 se a = k^{2}π^{2} + 1, con k ∈ ℤ \ {0}. Dunque per tali valori di a si ha una soluzione non nulla.

• Se a < 1 si hanno autovalori reali λ_{1,2} per cui la soluzione generale è:

u(t) = (c_{1}e^{λ_{1}t} + c_{2}e^{λ_{2}t}).

Imponendo le condizioni iniziali si ottiene:

\{ \begin{matrix}c_{1} + c_{2} = 0 \\ c_{1}e^{λ_{1}} + c_{2}e^{λ_{2}} = 0 \end{matrix}

da cui segue che u ≡ 0.