Soluzioni 3-AM3

Laura Di Gregorio 8 marzo 2004

1. Il polinomio caratteristico associato

P (λ) = λ^{2} − 3λ + 2

ha radici λ_{1} = 1 e λ_{2} = 2. La soluzione generale è:

u(t) = c_{1}e^{t} + c_{2}e^{2t}.

2. Il polinomio caratteristico associato

P (λ) = λ^{2} − 2λ + 1

ha radice λ = 1. La soluzione generale è:

u(t) = c_{1}e^{t} + c_{2}te^{t}.

3. Il polinomio caratteristico associato

P (λ) = λ^{3} − 2λ^{2} + 2λ

ha una radice reale λ_{1} = 0 e due radici complesse coniugate λ_{2} = 1 + i e λ_{3} = 1 − i. La soluzione generale è:

u(t) = c_{1} + c_{2}e^{t} cos t + c_{3}e^{t} sin t.

4. Il polinomio caratteristico associato P (λ) = λ^{2} + ω^{2} ha radici immaginarie λ = ±iω. La soluzione generale è:

u(t) = c_{1} cos ωt + c_{2} sin ωt.

5. Il polinomio caratteristico associato all’omogenea

P (λ) = λ − 1

ha radice λ = 1. La soluzione generale dell’omogenea è:

u_{0}(t) = c_{0}e^{t}.

Si cerca una soluzione particolare della non omogenea del tipo:

ū(t) = c(t)e^{t}.

Da cui

ū′(t) = c′(t)e^{t} + c(t)e^{t}.

Sostituendo nell’equazione si ottiene

c′(t)e^{t} + c(t)e^{t} − c(t)e^{t} = cos t

da cui

c′(t) = e^{−t} cos t.

Integrando si ottiene

c(t) = \frac{sin t − cos t}{2}e^{−t}

e quindi l’integrale generale dell’equazione si ottiene sommando a una soluzione particolare della non omogenea, per esempio

ū = \frac{sin t − cos t}{2},

la soluzione generale dell’omogenea.